Введение

У студентов, изучающих статистику и теорию вероятностей, иногда формируются ошибочные представления о нормальном распределении – идеи, которые могут казаться правдоподобными, но математически неверны. Например, часто ошибочно полагают, что две линейно некоррелированные нормально распределенные случайные величины обязательно должны быть статистически независимыми. Однако это не так, что можно продемонстрировать на контрпримере. Подобным образом, иногда ошибочно считают, что линейная комбинация нормально распределенных случайных величин сама будет иметь нормальное распределение, но и это опровергается контрпримерами. Тем не менее, возможно такое совместное распределение двух случайных величин, при котором каждая из них по отдельности имеет нормальное распределение, и они некоррелированы, но не являются независимыми; примеры приведены ниже.

Симметричный пример

Предположим, что имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Пусть имеет распределение Радемахера, так что принимает значение 1 или -1, каждый с вероятностью 1/2, и предположим, что оно независимо от . Пусть Тогда и некоррелированы, что можно проверить, вычислив их ковариацию. Более того, оба имеют одно и то же нормальное распределение. И все же, и не являются независимыми. Чтобы увидеть, что и не являются независимыми, заметим, что или что. Наконец, распределение простой линейной комбинации концентрирует положительную вероятность в точке 0: . Следовательно, случайная величина не имеет нормального распределения, и, следовательно, и также не имеют совместного нормального распределения (по определению выше). где предпоследнее равенство следует из симметрии распределения и симметрии условия, что. В этом примере разность сильно отличается от нормального распределения, поскольку имеет значительную вероятность (около 0,88) быть равной 0. В отличие от этого, нормальное распределение, будучи непрерывным распределением, не имеет дискретной части — то есть, оно не концентрирует более чем нулевую вероятность в какой-либо отдельной точке. Следовательно, и не имеют совместного нормального распределения, даже несмотря на то, что каждое из них по отдельности имеет нормальное распределение.

Примеры с поддержкой почти повсюду в самолете

Предположим, что координаты случайной точки на плоскости выбираются в соответствии с функцией плотности вероятности. Тогда случайные величины и некоррелированы, и каждая из них имеет нормальное распределение (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1), но они не являются независимыми. Хорошо известно, что отношение двух независимых стандартных нормально распределенных случайных величин и имеет распределение Коши. Можно также начать со случайной величины Коши и вывести условное распределение для удовлетворения требования, чтобы с и были независимыми и стандартно нормальными. Отсюда следует, что , где – случайная величина Радемахера, а – случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с двумя степенями свободы. Рассмотрим два набора . Обратите внимание, что не индексируется – то есть, одна и та же случайная величина Коши используется в определении как , так и . Такое совместное использование приводит к зависимостям между индексами: ни , ни не являются независимыми от . Тем не менее, все и некоррелированы, поскольку их двумерные распределения обладают симметрией отражения относительно осей. На рисунке представлены диаграммы рассеяния выборок, полученных из указанного распределения. Это демонстрирует два примера двумерных распределений, которые некоррелированы и имеют нормальные предельные распределения, но не являются независимыми. На левой панели показано совместное распределение и ; распределение определено всюду, кроме начала координат. На правой панели показано совместное распределение и ; распределение определено всюду, кроме осей, и имеет разрыв в начале координат: плотность стремится к бесконечности при приближении к началу координат по любой прямой, кроме осей.