Гамильтондық векторлық өріс және симплектикалық манифольдтар
Hamiltonian vector field
Гамильтондық векторлық өріс: математика мен физикадағы энергия функциясы, канондық түрленулер, Пуассон манифольді. Классикалық механика теңдеулерінің геометриялық көрінісі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математика мен физикада симплектілік көптүрліліктегі Гамильтондық векторлық өріс – кез келген энергия функциясы немесе Гамильтондық үшін анықталған векторлық өріс. Физик және математик сэр Уильям Роуэн Гамильтонның есімімен аталған Гамильтондық векторлық өріс – классикалық механикадағы Гамильтон теңдеулерінің геометриялық көрінісі. Гамильтондық векторлық өрістің интегралды қисықтары Гамильтондық формадағы қозғалыс теңдеулерінің шешімдерін көрсетеді. Гамильтондық векторлық өрістің ағынынан туындайтын симплектілік көптүрліліктің диффеоморфизмдері физикада каноникалық түрлендірулер, ал математикада (Гамильтондық) симплектоморфизмдер деп аталады. Гамильтондық векторлық өрістерді кез келген Пуассон көптүрлілігінде де анықтауға болады. Көптүрліліктегі f және g функцияларына сәйкес екі Гамильтондық векторлық өрістің Лай жақшасының өзі Гамильтондық векторлық өріс болып табылады, оның Гамильтонианы f және g функцияларының Пуассон жақшасымен беріледі.
In mathematics and physics, a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold is a vector field defined for any energy function or Hamiltonian. Named after the physicist and mathematician Sir William Rowan Hamilton, a Hamiltonian vector field is a geometric manifestation of Hamilton's equations in classical mechanics. The integral curves of a Hamiltonian vector field represent solutions to the equations of motion in the Hamiltonian form. The diffeomorphisms of a symplectic manifold arising from the flow of a Hamiltonian vector field are known as canonical transformations in physics and (Hamiltonian) symplectomorphisms in mathematics. Hamiltonian vector fields can be defined more generally on an arbitrary Poisson manifold. The Lie bracket of two Hamiltonian vector fields corresponding to functions f and g on the manifold is itself a Hamiltonian vector field, with the Hamiltonian given by the
Poisson bracket of f and g.
Қасиеттері
f-ты Xf-ке бейнелеу сызықтық, сондықтан екі Гамильтон функциясының қосындысы сәйкес Гамильтон векторлық өрістерінің қосындысына өтеді. (q^(1), ..., q^(n), p1, ..., pn) координаталары M-де каноникалық координаталар деп есептелінеді (жоғарыда қараңыз). Онда қисық, егер және тек қана Гамильтон теңдеулерінің шешімі болса, Гамильтон векторлық өрісі XH-тың интегралды қисығы болады:
The assignment f ↦ Xf is linear, so that the sum of two Hamiltonian functions transforms into the sum of the corresponding Hamiltonian vector fields. Suppose that (q^(1), , q^(n), p1, , pn) are canonical coordinates on M (see above). Then a curve is an integral curve of the Hamiltonian vector field XH if and only if it is a solution of Hamilton's equations:
Гамильтон H интегралды қисықтар бойымен тұрақты, себебі H(γ(t)) t-ге тәуелсіз. Бұл қасиет Гамильтон механикасындағы энергияның сақталуымен сәйкес келеді. Көбірек айтқанда, егер F және H функцияларының Пуассон жақшасы нөлге тең болса (төменде қараңыз), онда F, H-тың интегралды қисықтары бойымен тұрақты, және сол сияқты, H, F-тың интегралды қисықтары бойымен тұрақты. Бұл факт Ноэтер теоремасының негізінде жатқан абстрактілі математикалық принцип. Гамильтон ағыны симплектикалық форма ω-ны сақтайды. Балама ретінде, Ли туындысы
The Hamiltonian H is constant along the integral curves, because That is, H(γ(t)) is actually independent of t. This property corresponds to the conservation of energy in Hamiltonian mechanics. More generally, if two functions F and H have a zero Poisson bracket (cf. below), then F is constant along the integral curves of H, and similarly, H is constant along the integral curves of F. This fact is the abstract mathematical principle behind Noether's theorem. The symplectic form ω is preserved by the Hamiltonian flow. Equivalently, the Lie derivative