Гамильтоновы векторные поля на симплектических многообразиях
Hamiltonian vector field
Гамильтоновы векторные поля: определение, свойства и связь с классической механикой. Канонические преобразования, симплектоморфизмы и уравнения Гамильтона.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике и физике гамильтоново векторное поле на симплектическом многообразии — это векторное поле, определенное для любой функции энергии, или гамильтониана. Названное в честь физика и математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона, гамильтоново векторное поле является геометрическим выражением уравнений Гамильтона в классической механике. Интегральные кривые гамильтонова векторного поля представляют собой решения уравнений движения в гамильтоновой форме. Диффеоморфизмы симплектического многообразия, возникающие в результате потока гамильтонова векторного поля, известны как канонические преобразования в физике и (гамильтоновые) симплектоморфизмы в математике. Гамильтоновы векторные поля могут быть определены в более общем виде на произвольном многообразии Пуассона. Кронштейн Ли двух гамильтоновых векторных полей, соответствующих функциям f и g на многообразии, сам является гамильтоновым векторным полем, при этом гамильтониан задается скобкой Пуассона функций f и g.
In mathematics and physics, a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold is a vector field defined for any energy function or Hamiltonian. Named after the physicist and mathematician Sir William Rowan Hamilton, a Hamiltonian vector field is a geometric manifestation of Hamilton's equations in classical mechanics. The integral curves of a Hamiltonian vector field represent solutions to the equations of motion in the Hamiltonian form. The diffeomorphisms of a symplectic manifold arising from the flow of a Hamiltonian vector field are known as canonical transformations in physics and (Hamiltonian) symplectomorphisms in mathematics. Hamiltonian vector fields can be defined more generally on an arbitrary Poisson manifold. The Lie bracket of two Hamiltonian vector fields corresponding to functions f and g on the manifold is itself a Hamiltonian vector field, with the Hamiltonian given by the
Poisson bracket of f and g.
Свойства
Присвоение f ↦ Xf является линейным, так что сумма двух гамильтоновых функций преобразуется в сумму соответствующих гамильтоновых векторных полей. Предположим, что (q¹, …, qⁿ, p₁, …, pₙ) являются каноническими координатами на M (см. выше). Тогда кривая γ является интегральной кривой гамильтонова векторного поля XH тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Гамильтона:
The assignment f ↦ Xf is linear, so that the sum of two Hamiltonian functions transforms into the sum of the corresponding Hamiltonian vector fields. Suppose that (q^(1), , q^(n), p1, , pn) are canonical coordinates on M (see above). Then a curve is an integral curve of the Hamiltonian vector field XH if and only if it is a solution of Hamilton's equations:
Гамильтониан H постоянен вдоль интегральных кривых, поскольку H(γ(t)) на самом деле не зависит от t. Это свойство соответствует сохранению энергии в гамильтоновой механике. В более общем случае, если две функции F и H имеют нулевую скобку Пуассона (см. ниже), то F постоянен вдоль интегральных кривых H, и аналогично, H постоянен вдоль интегральных кривых F. Этот факт является абстрактным математическим принципом, лежащим в основе теоремы Нётер. Симплектическая форма ω сохраняется гамильтоновым потоком. Эквивалентно, производная Ли
The Hamiltonian H is constant along the integral curves, because That is, H(γ(t)) is actually independent of t. This property corresponds to the conservation of energy in Hamiltonian mechanics. More generally, if two functions F and H have a zero Poisson bracket (cf. below), then F is constant along the integral curves of H, and similarly, H is constant along the integral curves of F. This fact is the abstract mathematical principle behind Noether's theorem. The symplectic form ω is preserved by the Hamiltonian flow. Equivalently, the Lie derivative