Кіріспе
Математикада, әсіресе абстрактілі алгебра мен коммутативтік алгебрада, Накаяма леммасы – сондай-ақ Крулл-Азумая теоремасы деп те аталады – сақинаның (көбінесе коммутативтік сақина) Якобсон радикалы мен оның шекті түрде жасалған модульдері арасындағы өзара әрекеттесуді реттейді. Шартты түрде айтқанда, лемма бірден нақты мағынаны береді, онда коммутативтік сақинадағы шекті жасалған модульдер өрістегі векторлық кеңістіктер сияқты мінез-құлық танытады. Ол алгебралық геометрияда маңызды құрал болып табылады, себебі ол алгебралық сорттардағы жергілікті деректерді, жергілікті сақиналардағы модульдер түрінде, сақинаның қалдық өрісі бойынша векторлық кеңістіктер ретінде нүктелік түрде зерттеуге мүмкіндік береді. Лемма жапон математигі Тадаси Накаяманың есімімен аталады және қазіргі түрінде 1951 жылы ұсынылды, бірақ ол алғаш рет Волфганг Крулл коммутативтік сақинадағы идеалдардың ерекше жағдайында, содан кейін Горо Азумая (1951) жалпы түрінде ашты. Коммутативтік жағдайда, лемма – Кейли-Гамильтон теоремасының жалпыланған түрінің қарапайым салдары, бұл туралы Майкл Атия (1969) байқаған. Оң идеалдарға қатысты лемманың коммутативті емес нұсқасының ерекше жағдайы Натан Джейкобсонның (1945) еңбегінде кездеседі, сондықтан коммутативті емес Накаяма леммасы кейде Джейкобсон-Азумая теоремасы деп аталады.
Айтылым
1-ге тең коммутативті сақина болсын. Накаяма леммасы: 1-шы сөйлем: Егер , -де идеал болса, және , -де шекті түрде құрылған модуль болса, онда осындай бар, бұл төменде дәлелденген. Накаяма леммасының пайдалы мнемоникасы "". Бұл келесі балама тұжырымдаманы қорытындылайды: 2-шы сөйлем: Егер , -де идеал болса, және , -де шекті түрде құрылған модуль болса, онда барлық үшін осындай бар: 1-ші сөйлемді қараңыз. Келесі тұжырымдама да Накаяма леммасы деп аталады және ол көбінесе осы түрде кездеседі. 3-шы сөйлем: Егер , үстінде шекті түрде құрылған модуль болса, , -дің Якобсон радикалы болса, және болса, онда дәлелдеу: (1-ші сөйлемдегідей ) Якобсон радикалында, сондықтан кері айналады. Жалпы алғанда, , шекті түрде құрылған кезде , -дің артық субмодулі болады. 4-шы сөйлем: Егер , үстінде шекті түрде құрылған модуль болса, , -дің субмодулі болса, және = болса, онда = дәлелдеу: үшін 3-шы сөйлемді қолданыңыз. Келесі нәтиже Накаяма леммасын генераторлар тұрғысынан көрсетеді. 5-шы сөйлем: Егер , үстінде шекті түрде құрылған модуль болса және элементтерінің ішіндегі бейнелері , -ты , модуль ретінде құраса, онда , сонымен бірге , модуль ретінде құрайды. Дәлел: 4-ші сөйлемді қолданыңыз. Егер толық деп есептесек және , идеал үшін адикалық топологияға қатысты бөлінген болса, онда соңғы сөйлем орнына және шекті түрде құрылған деп алдын ала болмай тұрып орындалады. Мұнда бөліну дегеніміз - адикалық топология T1 бөліну аксиомасын қанағаттандырады және оған тең.
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Жергілікті сақиналар
Шектеулі жасалған модульдің максималды идеалы бар жергілікті сақинадағы ерекше жағдайында, бөлшегі өрістегі векторлық кеңістік болып табылады. 5-ші теорема содан кейін, -нің негізі генераторлардың минималды жиынтығына көтеріледі дегенді білдіреді. Керісінше, -нің әрбір минималды генераторлар жиынтығы осылай алынады, ал кез келген екі мұндай генераторлар жиынтығы сақина элементтерінен құралған инвертирленетін матрицамен байланысты.
Геометриялық түсіндіру
Осылайша, Накаяма леммасы нақты геометриялық мағынаға ие болады. Жергілікті сақиналар геометрияда функцияның нүктедегі туындылары ретінде пайда болады. Жергілікті сақиналар үстіндегі шекті жасалған модульдер жиі векторлық бундельдердің қималарының туындылары ретінде кездеседі. Нүктелер емес, туындылар деңгейінде жұмыс істеу арқылы, шекті өлшемді векторлық бундель түсінігі үйлесімді шоғыр түсінігіне жол ашады. Бұлжымай айтқанда, Накаяма леммасы когерентті шоғырды белгілі бір мағынада векторлық бундельден шыққан деп қарастыруға болады дейді. Нақтырақ айтқанда, кез келген схема бойынша модульдердің когерентті шоғыры болсын. Бір нүктедегі , белгіленген , жергілікті сақинадағы модуль болып табылады, ал -ның талшығы векторлық кеңістік. Накаяма леммасы талшықтың негізі ең аз генераторлар жиынына көтеріледі дегенді білдіреді. Яғни: Когерентті шоғырдың бір нүктедегі талшығының кез келген негізі жергілікті қималардың ең аз негізінен шығады. Бұл геометриялық тұрғыдан қайта формулирленсе, егер векторлық бундельді бейнелейтін жергілікті бос модуль болса және егер схеманың бір нүктесінде векторлық бундельдің негізін алсақ, онда бұл негізді нүктеге жақын ауданда векторлық бундельдің қималарының негізіне көтеруге болады. Бұл деректерді диаграммалық түрде ұйымдастыруға болады, онда n өлшемді векторлық кеңістік бар, мысалы, -дағы негіз (бундельдің қималарының негізі) белгілі бір ауданның қималарының негізіне көтеріледі.
Any basis of the fiber of a coherent sheaf at a point comes from a minimal basis of local sections. Reformulating this geometrically, if is a locally free module representing a vector bundle , and if we take a basis of the vector bundle at a point in the scheme , this basis can be lifted to a basis of sections of the vector bundle in some neighborhood of the point. We can organize this data diagrammaticallywhere is an n dimensional vector space, to say a basis in (which is a basis of sections of the bundle ) can be lifted to a basis of sections for some neighborhood of .
Жоғары және төмен
Жоғары көтерілу теоремасы – Накаяма леммасының маңызды салдары болып табылады. Ол былай тұжырымдайды:
болсын – коммутативті сақиналардың интегралды кеңейтімі, ал – сақинаның жай идеалдарының бірі. Онда –те сақинасында жай идеал бар, мұндағы . Бұдан әрі, идеалды –ні қамтитындай етіп таңдауға болады, егер .
Гомологиялық нұсқалар
Накаяма леммасы гомологиялық алгебрада бірнеше нұсқада келеді. Жоғарыдағы эпиморфизмдер туралы айтылған мәлімдемені мынаны көрсету үшін пайдалануға болады:
Let be a local ring and a finitely generated module over Then the projective dimension of over is equal to the length of every minimal free resolution of Moreover, the projective dimension is equal to the global dimension of , which is by definition the smallest integer such that
Here is the residue field of and is the tor functor.
болсын – жергілікті сақина және – сақина үстінде шекті түрде туындаған модуль. Онда –ның үстіндегі проективтік өлшем, –ның кез келген ең аз еркін ажыратылысының ұзындығына тең. Сонымен қатар, проективтік өлшем , –ның глобальдік өлшеміне тең, яғни –ның ең кішкентай бүтін саны болып табылады, онда:
Let be a local ring and a finitely generated module over Then the projective dimension of over is equal to the length of every minimal free resolution of Moreover, the projective dimension is equal to the global dimension of , which is by definition the smallest integer such that
Here is the residue field of and is the tor functor.
Мұнда – сақинаның қалдық өрісі және – тор функторы.
Let be a local ring and a finitely generated module over Then the projective dimension of over is equal to the length of every minimal free resolution of Moreover, the projective dimension is equal to the global dimension of , which is by definition the smallest integer such that
Here is the residue field of and is the tor functor.
Степенді нұсқасы
Сондай-ақ, Накаяма леммасының сатылаған нұсқасы бар. R сақинасын теріс емес бүтін сандардың реттелген жартылай тобымен сатылаған деп алсақ, ал - оң сатылаған элементтермен құрылған идеалды білдірсін. Егер M, R-дің сатылаған модулі болса және i жеткілікті теріс болғанда (әсіресе, егер M шекті түрде туындаған болса және R теріс дәрежелі элементтерді қамтымаса) , онда . R сақинасы стандартты сатыланумен полиномдық сақина болғанда және M шекті түрде туындаған модуль болғанда, бұл жағдай ерекше маңызға ие. Бұл дәлел сатыланбаған жағдайға қарағанда әлдеқайда оңай: i-ді болатын ең кіші бүтін сан деп алсақ, онда -де пайда болмайды, яғни немесе мұндай i жоқ, яғни .