Введение
В математике, в частности в абстрактной и коммутативной алгебре, лемма Накаямы, также известная как теорема Крулла — Азумайи, описывает взаимодействие между радикалом Якобсона кольца (обычно коммутативного кольца) и его конечно порожденными модулями. Неформально, эта лемма дает точное представление о том, в каком смысле конечно порожденные модули над коммутативным кольцом ведут себя подобно векторным пространствам над полем. Она является важным инструментом в алгебраической геометрии, поскольку позволяет изучать локальные данные на алгебраических многообразиях, представленные в виде модулей над локальными кольцами, как векторные пространства над полем вычетов кольца. Лемма названа в честь японского математика Тадаси Накаямы и представлена в современной формулировке в 1951 году, хотя впервые она была обнаружена в частном случае идеалов в коммутативном кольце Вольфгангом Круллом, а затем в общем виде Горо Азумаей (1951). В коммутативном случае лемма является прямым следствием обобщенной формы теоремы Кэли — Гамильтона, что было отмечено Майклом Атия (1969). Частный случай некоммутативной версии леммы для правых идеалов встречается в работах Натана Джейкобсона (1945), поэтому некоммутативная лемма Накаямы иногда называется теоремой Джейкобсона — Азумайи.
Заявление
Пусть это коммутативное кольцо с единицей 1. Следующая лемма Накаямы, как указано в:
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Утверждение 1: Пусть – идеал в , а – конечно порожденный модуль над . Если , то существует с таким, что . Это доказано ниже. Удобная мнемоническая фраза для леммы Накаямы – "". Она обобщает следующую альтернативную формулировку:
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Утверждение 2: Пусть – идеал в , а – конечно порожденный модуль над . Если , то существует такой , что для всех . Доказательство: Возьмите в утверждении 1. Следующее следствие также известно как лемма Накаямы, и именно в этой форме она чаще всего встречается.
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Утверждение 3: Если – конечно порожденный модуль над , – радикалом Джейкобсона , и , то . Доказательство: (с как в утверждении 1) принадлежит радикалу Джейкобсона, следовательно, обратимо. В более общем случае, является избыточным подмодулем когда конечно порожден.
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Утверждение 4: Если – конечно порожденный модуль над , – подмодуль , и = , то = . Доказательство: Применим утверждение 3 к .
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Следующий результат выражает лемму Накаямы в терминах образующих.
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Утверждение 5: Если – конечно порожденный модуль над , и образы элементов 1, , из в порождают как -модуль, то 1, , также порождают как -модуль. Доказательство: Применим утверждение 4 к .
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Если вместо этого предположить, что полно и разделено относительно -адической топологии для некоторого идеала в , то последнее утверждение выполняется с вместо и без предварительного предположения о том, что конечно порожден. Здесь разделенность означает, что -адическая топология удовлетворяет аксиоме разделения T1 и эквивалентна .
Statement 1: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists with such that
This is proven below. A useful mnemonic for Nakayama's lemma is "". This summarizes the following alternative formulation:
Statement 2: Let be an ideal in , and a finitely generated module over If , then there exists an such that for all Proof: Take in Statement 1. The following corollary is also known as Nakayama's lemma, and it is in this form that it most often appears. Statement 3: If is a finitely generated module over , is the Jacobson radical of , and , then Proof: (with as in Statement 1) is in the Jacobson radical so is invertible. More generally, one has that is a superfluous submodule of when is finitely generated. Statement 4: If is a finitely generated module over , is a submodule of , and = , then = Proof: Apply Statement 3 to
The following result manifests Nakayama's lemma in terms of generators. Statement 5: If is a finitely generated module over and the images of elements 1, , of in generate as an module, then 1, , also generate as an module. Proof: Apply Statement 4 to
If one assumes instead that is complete and is separated with respect to the adic topology for an ideal in , this last statement holds with in place of and without assuming in advance that is finitely generated. Here separatedness means that the adic topology satisfies the T1 separation axiom, and is equivalent to
Местные кольца
В специальном случае конечно порожденного модуля над локальным кольцом с максимальным идеалом , фактор-модуль является векторным пространством над полем . Утверждение 5 тогда влечет, что базис поднимается к минимальному множеству образующих . Обратно, любое минимальное множество образующих получается таким образом, и любые два таких множества образующих связаны обратимой матрицей с элементами из кольца.
Геометрическая интерпретация
В этой форме лемма Накаямы приобретает конкретное геометрическое значение. Локальные кольца возникают в геометрии как зародыши функций в точке. Конечно порожденные модули над локальными кольцами часто возникают как зародыши сечений векторных расслоений. Работая на уровне зародышей, а не точек, понятие конечномерного векторного расслоения уступает место понятию когерентного пучка. Неформально, лемма Накаямы утверждает, что когерентный пучок в некотором смысле все еще можно рассматривать как происходящий из векторного расслоения. Более точно, пусть – когерентный пучок -модулей над произвольной схемой. Стебель в точке , обозначаемый , является модулем над локальным кольцом , а волокно в – векторным пространством. Лемма Накаямы подразумевает, что базис волокна можно поднять до минимального порождающего множества . То есть: любой базис волокна когерентного пучка в точке происходит из минимального базиса локальных сечений. Переформулируя это геометрически, если – локально свободный -модуль, представляющий векторное расслоение , и если мы возьмем базис векторного расслоения в точке схемы , этот базис можно поднять до базиса сечений векторного расслоения в некоторой окрестности этой точки. Мы можем организовать эти данные диаграмматически, где – n-мерное векторное пространство, чтобы сказать, что базис в (который является базисом сечений расслоения) можно поднять до базиса сечений для некоторой окрестности .
Any basis of the fiber of a coherent sheaf at a point comes from a minimal basis of local sections. Reformulating this geometrically, if is a locally free module representing a vector bundle , and if we take a basis of the vector bundle at a point in the scheme , this basis can be lifted to a basis of sections of the vector bundle in some neighborhood of the point. We can organize this data diagrammaticallywhere is an n dimensional vector space, to say a basis in (which is a basis of sections of the bundle ) can be lifted to a basis of sections for some neighborhood of .
Идёт вверх и вниз
Теорема о восхождении по существу является следствием леммы Накаямы. Она утверждает: Пусть R → S — интегральное расширение коммутативных колец, а P — простой идеал в R. Тогда существует простой идеал Q в S такой, что P = S ∩ Q. Более того, Q можно выбрать так, чтобы он содержал любой простой идеал I в R, для которого P ⊆ I.
Let be an integral extension of commutative rings, and a prime ideal of Then there is a prime ideal in such that Moreover, can be chosen to contain any prime of such that .
Гомологические версии
Лемма Накаямы также имеет несколько версий в гомологической алгебре. Приведенное выше утверждение об эпиморфизмах можно использовать для доказательства следующего: пусть R – локальное кольцо, а M – конечно порожденный модуль над R. Тогда проективная размерность M над R равна длине любого минимального свободного разрешения M. Более того, проективная размерность равна глобальной размерности R, которая по определению является наименьшим целым числом n, таким что Tor_n(R/m, M) = 0.
Let be a local ring and a finitely generated module over Then the projective dimension of over is equal to the length of every minimal free resolution of Moreover, the projective dimension is equal to the global dimension of , which is by definition the smallest integer such that
Здесь R/m – поле остатков кольца R, а Tor – функтор Tor.
Степенная версия
Существует также градуированная версия леммы Накаямы. Пусть R – кольцо, градуированное упорядоченной полугруппой неотрицательных целых чисел, и пусть обозначает идеал, порожденный положительно градуированными элементами. Тогда, если M – градуированный модуль над R, для которого для достаточно малых (отрицательных) i (в частности, если M конечно порожден и R не содержит элементов отрицательной степени), то особое значение имеет случай, когда R – кольцо многочленов со стандартной градуировкой, а M – конечно порожденный модуль. Доказательство гораздо проще, чем в неградуированном случае: выбрав i как наименьшее целое число, такое что , мы видим, что не появляется в , следовательно, либо , либо такого i не существует, то есть .