Тәуелді бір форма: Лагранж және Гамильтон механикасы арасындағы байланыс
Tautological one-form
Таутологиялық бір форма – математика мен физикадағы маңызды түсінік. Лагранждық және Гамильтон механикасын байланыстырады, симплектикалық форманы анықтайды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада таутологиялық бір форма — көптіктің котангенттік түйінінде анықталатын арнайы 1-форма. Физикада ол механикалық жүйедегі нүктенің жылдамдығы мен оның импульсі арасында сәйкестік орнату үшін қолданылады, осылайша Лагранж механикасы мен Гамильтон механикасы арасында көпір (көптік) құрады. Бұл форманың сыртқы туындысы симплектикалық форманы анықтайды, осымен симплектикалық көптіктің құрылымын береді. Таутологиялық бір форма Гамильтон механикасы мен Лагранж механикасының формализмін байланыстыруда маңызды рөл атқарады. Таутологиялық бір форма кейде Лиувилл бір формасы, Пуанкаре бір формасы, каноникалық бір форма немесе симплектикалық потенциал деп те аталады. Осыған ұқсас нысан — тангенс түйініндегі каноникалық векторлық өріс. Таутологиялық бір форманы анықтау үшін, көптікте координаталық диаграмманы және котангенттік түйінде каноникалық координаттар жүйесін таңдаңыз. Кез келген нүктені қарастырайық. Котангенттік түйіннің анықтамасы бойынша, мұндағы және Таутологиялық бір форма мына түрде беріледі:
In mathematics, the tautological one form is a special 1 form defined on the cotangent bundle of a manifold In physics, it is used to create a correspondence between the velocity of a point in a mechanical system and its momentum, thus providing a bridge between Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics (on the manifold ). The exterior derivative of this form defines a symplectic form giving the structure of a symplectic manifold. The tautological one form plays an important role in relating the formalism of Hamiltonian mechanics and Lagrangian mechanics. The tautological one form is sometimes also called the Liouville one form, the Poincaré one form, the canonical one form, or the symplectic potential. A similar object is the canonical vector field on the tangent bundle. To define the tautological one form, select a coordinate chart on and a canonical coordinate system on Pick an arbitrary point By definition of cotangent bundle, where and The tautological one form is given by
with and being the coordinate representation of
Any coordinates on that preserve this definition, up to a total differential (exact form), may be called canonical coordinates; transformations between different canonical coordinate systems are known as canonical transformations. The canonical symplectic form, also known as the Poincaré two form, is given by
The extension of this concept to general fibre bundles is known as the solder form. By convention, one uses the phrase "canonical form" whenever the form has a unique, canonical definition, and one uses the term "solder form", whenever an arbitrary choice has to be made. In algebraic geometry and complex geometry the term "canonical" is discouraged, due to confusion with the canonical class, and the term "tautological" is preferred, as in tautological bundle.
мұндағы және — координаттық өрнекі.
In mathematics, the tautological one form is a special 1 form defined on the cotangent bundle of a manifold In physics, it is used to create a correspondence between the velocity of a point in a mechanical system and its momentum, thus providing a bridge between Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics (on the manifold ). The exterior derivative of this form defines a symplectic form giving the structure of a symplectic manifold. The tautological one form plays an important role in relating the formalism of Hamiltonian mechanics and Lagrangian mechanics. The tautological one form is sometimes also called the Liouville one form, the Poincaré one form, the canonical one form, or the symplectic potential. A similar object is the canonical vector field on the tangent bundle. To define the tautological one form, select a coordinate chart on and a canonical coordinate system on Pick an arbitrary point By definition of cotangent bundle, where and The tautological one form is given by
with and being the coordinate representation of
Any coordinates on that preserve this definition, up to a total differential (exact form), may be called canonical coordinates; transformations between different canonical coordinate systems are known as canonical transformations. The canonical symplectic form, also known as the Poincaré two form, is given by
The extension of this concept to general fibre bundles is known as the solder form. By convention, one uses the phrase "canonical form" whenever the form has a unique, canonical definition, and one uses the term "solder form", whenever an arbitrary choice has to be made. In algebraic geometry and complex geometry the term "canonical" is discouraged, due to confusion with the canonical class, and the term "tautological" is preferred, as in tautological bundle.
Осы анықтаманы сақтайтын кез келген координаттар, толық дифференциалға дейін (нақты форма), каноникалық координаттар деп аталуы мүмкін; әр түрлі каноникалық координаттар жүйелері арасындағы трансформациялар каноникалық трансформациялар деп аталады. Каноникалық симплектикалық форма, сондай-ақ Пуанкаре екі формасы деп те аталады. Бұл ұғымды жалпы талшықтық түйіндерге кеңейту сольдерлік форма деп аталады. Шарт бойынша, форманың бірегей, каноникалық анықтамасы болған кезде «каноникалық форма» деген сөз тіркесі қолданылады, ал кез келген таңдау жасау қажет болғанда «солдерлік форма» термині қолданылады. Алгебралық геометрияда және комплекс геометрияда «каноникалық» термині каноникалық класспен шатасудан сақтану үшін қолданылмайды, ал «таутологиялық» термині, мысалы, таутологиялық түйіндегідей, артықшылыққа ие.
In mathematics, the tautological one form is a special 1 form defined on the cotangent bundle of a manifold In physics, it is used to create a correspondence between the velocity of a point in a mechanical system and its momentum, thus providing a bridge between Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics (on the manifold ). The exterior derivative of this form defines a symplectic form giving the structure of a symplectic manifold. The tautological one form plays an important role in relating the formalism of Hamiltonian mechanics and Lagrangian mechanics. The tautological one form is sometimes also called the Liouville one form, the Poincaré one form, the canonical one form, or the symplectic potential. A similar object is the canonical vector field on the tangent bundle. To define the tautological one form, select a coordinate chart on and a canonical coordinate system on Pick an arbitrary point By definition of cotangent bundle, where and The tautological one form is given by
with and being the coordinate representation of
Any coordinates on that preserve this definition, up to a total differential (exact form), may be called canonical coordinates; transformations between different canonical coordinate systems are known as canonical transformations. The canonical symplectic form, also known as the Poincaré two form, is given by
The extension of this concept to general fibre bundles is known as the solder form. By convention, one uses the phrase "canonical form" whenever the form has a unique, canonical definition, and one uses the term "solder form", whenever an arbitrary choice has to be made. In algebraic geometry and complex geometry the term "canonical" is discouraged, due to confusion with the canonical class, and the term "tautological" is preferred, as in tautological bundle.
Симплекстік әлеует
Симплектикалық потенциал көбінесе сәл еркін анықталады, және тек жергілікті түрде ғана анықталады: ол — жабық форманың туындысы болатын кез келген бір форма; мәнісінде, симплектикалық потенциалдар канондық 1-формадан жабық формамен айырылады.
The symplectic potential is generally defined a bit more freely, and also only defined locally: it is any one form such that ; in effect, symplectic potentials differ from the canonical 1 form by a closed form.