Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике таутлогическая 1-форма — это специальная 1-форма, определённая на котангентном расслоении многообразия. В физике она используется для установления соответствия между скоростью точки в механической системе и её импульсом, тем самым обеспечивая связь между лагранжевой механикой и гамильтоновой механикой (на многообразии). Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму, задающую структуру симплектического многообразия. Таутлогическая 1-форма играет важную роль в установлении связи между формализмом гамильтоновой механики и лагранжевой механики. Таутлогическую 1-форму иногда также называют формой Лиувилля, формой Пуанкаре, канонической формой или симплектическим потенциалом. Аналогичным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении. Для определения таутлогической 1-формы выберите координатную окрестность на и каноническую систему координат на . Выберите произвольную точку . По определению котангентного расслоения, где и . Таутлогическая 1-форма задаётся выражением
In mathematics, the tautological one form is a special 1 form defined on the cotangent bundle of a manifold In physics, it is used to create a correspondence between the velocity of a point in a mechanical system and its momentum, thus providing a bridge between Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics (on the manifold ). The exterior derivative of this form defines a symplectic form giving the structure of a symplectic manifold. The tautological one form plays an important role in relating the formalism of Hamiltonian mechanics and Lagrangian mechanics. The tautological one form is sometimes also called the Liouville one form, the Poincaré one form, the canonical one form, or the symplectic potential. A similar object is the canonical vector field on the tangent bundle. To define the tautological one form, select a coordinate chart on and a canonical coordinate system on Pick an arbitrary point By definition of cotangent bundle, where and The tautological one form is given by
где и являются координатным представлением .
with and being the coordinate representation of
Любые координаты на , сохраняющие это определение с точностью до полного дифференциала (точной формы), могут называться каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования. Каноническая симплектическая форма, также известная как 2-форма Пуанкаре, задаётся выражением
Any coordinates on that preserve this definition, up to a total differential (exact form), may be called canonical coordinates; transformations between different canonical coordinate systems are known as canonical transformations. The canonical symplectic form, also known as the Poincaré two form, is given by
Обобщение этой концепции на общие расслоения называется формой пайки. По соглашению, выражение "каноническая форма" используется, когда форма имеет единственное, каноническое определение, а термин "форма пайки" — когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической и комплексной геометрии термин "канонический" не рекомендуется из-за путаницы с каноническим классом, и предпочтительнее термин "тавтологический", как, например, в тавтологическом расслоении.
The extension of this concept to general fibre bundles is known as the solder form. By convention, one uses the phrase "canonical form" whenever the form has a unique, canonical definition, and one uses the term "solder form", whenever an arbitrary choice has to be made. In algebraic geometry and complex geometry the term "canonical" is discouraged, due to confusion with the canonical class, and the term "tautological" is preferred, as in tautological bundle.
Симплектический потенциал
Симплектический потенциал обычно определяется несколько свободнее и только локально: это любая одномерная форма такая, что ; по сути, симплектические потенциалы отличаются от канонической одномерной формы на замкнутую форму.
The symplectic potential is generally defined a bit more freely, and also only defined locally: it is any one form such that ; in effect, symplectic potentials differ from the canonical 1 form by a closed form.