Бен Грин: британдық математик және оның ғылыми еңбектері

Кіріспе

Британдық математик (1977 жылы туған)

Бен Джозеф Грин (Ben Joseph Green), 1977 жылдың 27 ақпанында туған, британдық математик. Ол комбинаторика және сандар теориясы саласындағы маман. Қазір Оксфорд университетінде таза математика профессоры қызметін атқарады.

Ерте өмір және білім

Бен Грин 1977 жылы 27 ақпанда Англияның Бристоль қаласында дүниеге келген. Ол Бристольдегі жергілікті мектептерде, Бишоп Роуд бастауыш мектебінде және Фэрфилд грамматикалық мектебінде оқыды, 1994 және 1995 жылдары Халықаралық математикалық олимпиадаға қатысты. 1995 жылы Кембридждегі Тринити колледжіне түсіп, 1998 жылы математикадан бакалавр дәрежесін бітіріп, «Senior Wrangler» атағын жеңіп алды. Ол ІІІ бөлімде оқуын жалғастырып, Тимоти Говерстің жетекшілігімен «Арифметикалық комбинаторика тақырыптары» (2003) деген тақырыпта докторлық диссертациясын қорғады. Докторлық диссертациясын жазған кезінде бір жыл Принстон университетінде қонақ студент ретінде оқыды. 2001-2005 жылдар аралығында Кембридждегі Тринити колледжінде ғылыми қызметкер болып жұмыс істеді, 2005 жылдың қаңтарынан 2006 жылдың қыркүйегіне дейін Бристоль университетінде математика профессоры, ал 2006 жылдың қыркүйегінен 2013 жылдың тамызына дейін Кембридж университетінде таза математиканың алғашқы Гершель Смит профессоры болды. 2013 жылдың 1 тамызында Оксфорд университетінде таза математика профессоры қызметіне тағайындалды. Ол сонымен қатар Клей математика институтының ғылыми қызметкері болды және Принстон университеті, Британдық Колумбия университеті және Массачусетс технология институтында түрлі лауазымдарды атқарды.

Математика

Гриннің зерттеулерінің басым бөлігі аналитикалық сандар теориясы және аддитивті комбинаторика салаларында, бірақ ол гармониялық талдау және топтар теориясында да нәтижелерге қол жеткізген. Оның ең танымал теоремасы, оның жиі серіктесі Теренс Таомен бірлесіп дәлелденген, алғашқы сандарда кез келген қалаған ұзындықтағы арифметикалық прогрессиялардың бар екенін көрсетеді: бұл қазір Грин–Тао теоремасы деп аталады. Гриннің аддитивті комбинаторикадағы ерте нәтижелерінің арасында Жан Бургеннің жиынтықтағы арифметикалық прогрессиялардың мөлшеріне қатысты нәтижесін жақсарту, сондай-ақ Камерон–Эрдостың натурал сандар жиынындағы жиынтықсыз жиындарға қатысты болжамын дәлелдеу бар. Ол сондай-ақ алғашқы натурал сандарға анықталған функциялар үшін арифметикалық тұрақтылық леммасын дәлелдеді, бұл графтар үшін Сземереди тұрақтылық леммасына ұқсас. 2004–2010 жылдары Теренс Тао және Тамар Зиглермен бірлесіп жоғары ретті Фурье анализі деп аталатын теорияны жасады. Бұл теория Говерс нормаларын nilsequences деп аталатын объектілермен байланыстырады. Теория өзінің атын осы nilsequences-терден алады, олар классикалық Фурье анализіндегі таңбалардың атқаратын рөліне ұқсас рөл атқарады. Грин мен Тао жоғары ретті Фурье анализін пайдаланып, белгілі бір бүтін сандар жиынында, соның ішінде алғашқы сандардағы бір мезгілдегі теңдеулердің шешімдерінің санын есептеудің жаңа әдісін ұсынды. Бұл классикалық Харди–Литлвуд шеңбер әдісіне негізделген тәсілді жалпылайды. Бұл теорияның көптеген аспектілері, Говерс нормалары үшін кері теореманың сандық аспектілері де әлі де зерттеулердің тақырыбы болып табылады. Грин сонымен қатар Эммануэль Брюйярмен топтар теориясы бойынша жұмыс істеді. Атап айтқанда, Теренс Таомен бірлесіп, шамамен топтар үшін құрылым теоремасын дәлелдеді, бұл Фрейман–Руза теоремасын кішкентай екі еселенген бүтін сандар жиынына жалпылады. Грин сондай-ақ Кевин Форд пен Шон Эберхардпен бірлесіп симметриялық топтар теориясымен айналысты, атап айтқанда, оның элементтерінің қандай пропорциясы белгілі бір өлшемдегі жиынды бекітетінін зерттеді. Грин мен Тао Дирак–Моцкин болжамын шешетін алгебралық комбинаторлық геометрия бойынша мақала жариялады (Силвестр–Галли теоремасын қараңыз). Атап айтқанда, олар жазықтықтағы барлық нүктелері бір түзуде жатпайтын нүктелер жиыны үшін, егер жиын жеткілікті үлкен болса, онда жазықтықта дәл екі нүктені қамтитын кем дегенде бір түзудің болуын дәлелдейді. Кевин Форд, Бен Грин, Сергей Конягин, Джеймс Мейнард және Теренс Тао бастапқыда екі жеке зерттеу тобында жұмыс істеді, содан кейін бірігіп, ең көп дегенде белгілі бір өлшемдегі екі тізбекті алғашқы сандар арасындағы ең ұзын аралықтың мөлшеріне төменгі шекті жақсартты. Бұрынғы ең жақсы шектің түрі, негізінен Ранкинге байланысты, 76 жыл бойы жақсартылмаған. Соңғы кезде Грин арифметикалық Рамзи теориясының мәселелерін қарастырды. Том Сандерспен бірлесіп, егер жеткілікті үлкен түпкілікті өріс белгілі бір сандағы түстермен боялған болса, онда өрісте барлық элементтердің бір түске ие екенін дәлелдеді. Грин сондай-ақ Крот, Лев, Пач, Элленберг және Гижсвитттің сызықтық теңдеулердің шешімдері жоқ шекті векторлық кеңістіктің кіші жиынтықтарының мөлшерін шектеу үшін полиномиялық әдісті қолданудағы жаңа жетістіктеріне қатысты. Ол бұл әдістерді функциялық өрістерде Саркози теоремасының күшті түрін дәлелдеу үшін бейімдеді.

The majority of Green's research is in the fields of analytic number theory and additive combinatorics, but he also has results in harmonic analysis and in group theory. His best known theorem, proved jointly with his frequent collaborator Terence Tao, states that there exist arbitrarily long arithmetic progressions in the prime numbers: this is now known as the Green–Tao theorem. Amongst Green's early results in additive combinatorics are an improvement of a result of Jean Bourgain of the size of arithmetic progressions in sumsets, as well as a proof of the Cameron–Erdős conjecture on sum free sets of natural numbers. He also proved an arithmetic regularity lemma for functions defined on the first natural numbers, somewhat analogous to the Szemerédi regularity lemma for graphs. From 2004–2010, in joint work with Terence Tao and Tamar Ziegler, he developed so called higher order Fourier analysis. This theory relates Gowers norms with objects known as nilsequences. The theory derives its name from these nilsequences, which play an analogous role to the role that characters play in classical Fourier analysis. Green and Tao used higher order Fourier analysis to present a new method for counting the number of solutions to simultaneous equations in certain sets of integers, including in the primes. This generalises the classical approach using Hardy–Littlewood circle method. Many aspects of this theory, including the quantitative aspects of the inverse theorem for the Gowers norms, are still the subject of ongoing research. Green has also collaborated with Emmanuel Breuillard on topics in group theory. In particular, jointly with Terence Tao, they proved a structure theorem for approximate groups, generalising the Freiman Ruzsa theorem on sets of integers with small doubling. Green also has worked, jointly with Kevin Ford and Sean Eberhard, on the theory of the symmetric group, in particular on what proportion of its elements fix a set of size
Green and Tao also have a paper on algebraic combinatorial geometry, resolving the Dirac Motzkin conjecture (see Sylvester–Gallai theorem). In particular they prove that, given any collection of points in the plane that are not all collinear, if is large enough then there must exist at least lines in the plane containing exactly two of the points. Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard and Terence Tao, initially in two separate research groups and then in combination, improved the lower bound for the size of the longest gap between two consecutive primes of size at most The form of the previously best known bound, essentially due to Rankin, had not been improved for 76 years. More recently Green has considered questions in arithmetic Ramsey theory. Together with Tom Sanders he proved that, if a sufficiently large finite field of prime order is coloured with a fixed number of colours, then the field has elements such that all have the same colour. Green has also been involved with the new developments of Croot Lev Pach Ellenberg Gijswijt on applying the polynomial method to bound the size of subsets of a finite vector space without solutions to linear equations. He adapted these methods to prove, in function fields, a strong version of Sárközy's theorem.