Палеве трансценденттері және дифференциалдық теңдеулер

Кіріспе

Математикада Пайнлеве трансценденттері — күрделі жазықтықтағы белгілі бір екінші реттік сызықтық емес қалыпты дифференциалдық теңдеулердің шешімдері болып табылады, олар Пайнлеве қасиетіне ие (барлық жылжымалы сингулярлықтары полюстер ғана), бірақ олар көбінесе элементарлық функциялар арқылы шешілмейді. Оларды , , және анықтаған.

Тарих

Painlevé трансценденттерінің шығу тегі арнайы функцияларды зерттеуде, олар көбінесе дифференциалдық теңдеулердің шешімдері ретінде, сондай-ақ сызықтық дифференциалдық теңдеулердің изомонодромалық деформацияларын зерттеуде кездеседі. Арнайы функциялардың ең пайдалы кластарының бірі – эллипстік функциялар. Олар екінші реттік жай дифференциалдық теңдеулер арқылы анықталады, олардың сингулярлықтары Painlevé қасиетіне ие: жалғыз қозғалмалы сингулярлықтар – полюстер. Бұл қасиет сызықтық емес теңдеулерде сирек кездеседі. Poincaré және L. Fuchs кез келген бірінші реттік теңдеуді, егер ол Painlevé қасиетіне ие болса, Weierstrass эллиптік теңдеуіне немесе Riccati теңдеуіне түрлендіруге болатынын көрсетті, олардың екеуі де интеграция және бұрыннан белгілі арнайы функциялар арқылы нақты түрде шешіледі. Émile Picard 1-ден үлкен реттер үшін қозғалмалы елеулі сингулярлықтардың пайда болу мүмкін екенін көрсетті және кейіннен Painlevé VI теңдеуі деп аталатын ерекше жағдайды тапты (төменде қараңыз). (2-ден үлкен реттер үшін шешімдердің табиғи шекаралары қозғалмалы болуы мүмкін.) 1900 жыл шамасында Paul Painlevé қозғалмалы сингулярлықтары жоқ екінші реттік дифференциалдық теңдеулерді зерттеді. Ол, белгілі бір түрлендірулерге дейін, формасы (рационалды функциямен) әрбір осындай теңдеуді елу канондық форманың біріне (төменде тізімделген) келтіруге болатынын анықтады. Олардың қырық төртеуі бұрыннан белгілі функциялар арқылы шешілетін, яғни қайталанатын, ал қалған алты теңдеуді шешу үшін жаңа арнайы функцияларды енгізу қажет болды. Кейбір есептеу қателері болды, нәтижесінде ол Painlevé VI теңдеуінің жалпы түрін қоса алғанда, үш теңдеуді жіберіп алды. Қателерді түзетіп, жіктемені Painlevé-нің шәкірті Bertrand Gambier аяқтады. Painlevé және Gambier-ден тәуелсіз, Richard Fuchs мүлдем басқаша көзқараспен Painlevé VI теңдеуін тапты: ол тұрақты сингулярлықтары бар сызықтық дифференциалдық теңдеулердің изомонодромалық деформацияларын зерттеді. Параметрлердің жалпы мәндері үшін осы алты теңдеудің шынымен де қайталанбас екенін көрсету көп жылдар бойы даулы мәселе болды (кейде олар ерекше параметрлер үшін қайталана алады; төменде қараңыз), бірақ бұл ақыры дәлелденді. Осы алты екінші реттік сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер Painlevé теңдеулері деп аталады, ал олардың шешімдері – Painlevé трансценденттері. Алтыншы теңдеудің ең жалпы түрін Painlevé жіберіп алды, бірақ оны 1905 жылы Richard Fuchs (Lazarus Fuchs-тың ұлы) тапты, ол екінші реттік Фукс теңдеуінің бірегейлігін анықтайтын дифференциалдық теңдеу ретінде, проективтік түзудегі 4 тұрақты сингулярлық нүктесі бар және монодромияны сақтайтын деформацияларға ие. Ол Painlevé тізіміне қосылды. Painlevé жоғары реттік теңдеулерге қатысты жұмысын кеңейтуге тырысты, Painlevé қасиетіне ие үшінші реттік теңдеулерді тапты.

Painlevé transcendents have their origin in the study of special functions, which often arise as solutions of differential equations, as well as in the study of isomonodromic deformations of linear differential equations. One of the most useful classes of special functions are the elliptic functions. They are defined by second order ordinary differential equations whose singularities have the Painlevé property: the only movable singularities are poles. This property is rare in nonlinear equations. Poincaré and L. Fuchs showed that any first order equation with the Painlevé property can be transformed into the Weierstrass elliptic equation or the Riccati equation, which can all be solved explicitly in terms of integration and previously known special functions. Émile Picard pointed out that for orders greater than 1, movable essential singularities can occur, and found a special case of what was later called Painleve VI equation (see below). (For orders greater than 2 the solutions can have moving natural boundaries.) Around 1900, Paul Painlevé studied second order differential equations with no movable singularities. He found that up to certain transformations, every such equation of the form

(with a rational function) can be put into one of fifty canonical forms (listed in ). found that forty four of the fifty equations are reducible in the sense that they can be solved in terms of previously known functions, leaving just six equations requiring the introduction of new special functions to solve them. There were some computational errors, and as a result he missed three of the equations, including the general form of Painleve VI. The errors were fixed and classification completed by Painlevé's student Bertrand Gambier. Independently of Painlevé and Gambier, equation Painleve VI was found by Richard Fuchs from completely different considerations: he studied isomonodromic deformations of linear differential equations with regular singularities. It was a controversial open problem for many years to show that these six equations really were irreducible for generic values of the parameters (they are sometimes reducible for special parameter values; see below), but this was finally proved by and These six second order nonlinear differential equations are called the Painlevé equations and their solutions are called the Painlevé transcendents. The most general form of the sixth equation was missed by Painlevé, but was discovered in 1905 by Richard Fuchs (son of Lazarus Fuchs), as the differential equation satisfied by the singularity of a second order Fuchsian equation with 4 regular singular points on the projective line under monodromy preserving deformations. It was added to Painlevé's list by
tried to extend Painlevé's work to higher order equations, finding some third order equations with the Painlevé property.

Симметриялар

Баклундтық түрлендіру — дифференциалдық теңдеудің тәуелді және тәуелсіз айнымалыларын түрлендіретін, оны сол сияқты теңдеуге айналдыратын түрлендіру. Painlevé теңдеулерінің бәрінде дискретті Баклундтық түрлендірулер тобы бар, олар белгілі шешімдерден жаңа шешімдер алу үшін қолданылуы мүмкін.

Басқа салалармен байланыс

Пайнлеве теңдеулерін зерттеудің басты себептерінің бірі – полюстер орналасқан жерінің өзгеруі кезінде тұрақты сингулярлықтары бар сызықтық жүйелердің монодромиясының инварианттылығымен байланысы. Атап айтқанда, Ричард Фукс осы байланыстың арқасында Painlevé VI теңдеуін ашқан. Бұл тақырып изомонодромалық деформация туралы мақалада сипатталған. Пайнлеве теңдеулері – интегралданатын дербес дифференциалдық теңдеулердің барлық редукциялары; Пайнлеве теңдеулері – өзіне-өзі жұптасқан Янг-Милл теңдеулерінің барлық редукциялары; Пайнлеве трансценденттері кездейсоқ матрицалар теориясында Tracy-Widom үлестірілімінің формуласында, 2D Ising моделінде, асимметриялық қарапайым шығару процесінде және екі өлшемді кванттық гравитацияда кездеседі. Пайнлеве VI теңдеуі екі өлшемді конформдық өріс теориясында пайда болады: ол конформдық блоктардың комбинацияларымен және жерлерінде орындалады, мұнда – Вирасоро алгебрасының орталық заряды.