Трансценденты Палевена: История и Свойства

Введение

В математике трансценденты Пайнлеве — это решения определенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в комплексной плоскости, обладающие свойством Пайнлеве (единственными подвижными сингулярностями являются полюса), но не выразимые, как правило, через элементарные функции. Они были открыты , , и .

История

Трансценденты Пайнлеве берут свое начало в изучении специальных функций, которые часто возникают как решения дифференциальных уравнений, а также в изучении изомонодромических деформаций линейных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее полезных классов специальных функций являются эллиптические функции. Они определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, сингулярности которых обладают свойством Пайнлеве: единственными подвижными сингулярностями являются полюса. Это свойство редко встречается в нелинейных уравнениях. Пуанкаре и Л. Фукс показали, что любое уравнение первого порядка, обладающее свойством Пайнлеве, может быть преобразовано в эллиптическое уравнение Вейерштрасса или уравнение Риккати, которые могут быть решены явно с помощью интегрирования и ранее известных специальных функций. Эмиль Пикар указал, что при порядках, больших 1, могут возникать подвижные существенные сингулярности, и обнаружил частный случай того, что впоследствии было названо уравнением Пайнлеве VI (см. ниже). (При порядках, больших 2, решения могут иметь движущиеся естественные границы.) Около 1900 года Поль Пайнлеве изучал дифференциальные уравнения второго порядка, не имеющие подвижных сингулярностей. Он обнаружил, что, вплоть до определенных преобразований, каждое такое уравнение вида (с рациональной функцией) может быть приведено к одной из пятидесяти канонических форм (перечисленных в ). Было установлено, что сорок четыре из этих пятидесяти уравнений являются приводимыми в том смысле, что они могут быть решены с использованием ранее известных функций, оставляя лишь шесть уравнений, для решения которых требуется введение новых специальных функций. Были допущены некоторые вычислительные ошибки, и в результате он пропустил три уравнения, включая общую форму уравнения Пайнлеве VI. Ошибки были исправлены, а классификация завершена учеником Пайнлеве Бертраном Гамбие. Независимо от Пайнлеве и Гамбие, уравнение Пайнлеве VI было найдено Ричардом Фуксом, исходя из совершенно иных соображений: он изучал изомонодромические деформации линейных дифференциальных уравнений с регулярными сингулярностями. Долгое время оставалось открытой проблемой доказать, что эти шесть уравнений действительно не приводимы при общих значениях параметров (иногда они могут быть приводимы при специальных значениях параметров; см. ниже), но это в конечном итоге было доказано и . Эти шесть нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка называются уравнениями Пайнлеве, а их решения – трансцендентами Пайнлеве. Наиболее общую форму шестого уравнения Пайнлеве пропустил Пайнлеве, но она была обнаружена в 1905 году Ричардом Фуксом (сыном Лазаруса Фукса) как дифференциальное уравнение, удовлетворяемое сингулярностью уравнения Фукса второго порядка с 4 регулярными сингулярными точками на проективной прямой при монодромии, сохраняющей деформации. Оно было добавлено в список Пайнлеве, когда он попытался распространить работу Пайнлеве на уравнения более высокого порядка, найдя некоторые уравнения третьего порядка, обладающие свойством Пайнлеве.

Painlevé transcendents have their origin in the study of special functions, which often arise as solutions of differential equations, as well as in the study of isomonodromic deformations of linear differential equations. One of the most useful classes of special functions are the elliptic functions. They are defined by second order ordinary differential equations whose singularities have the Painlevé property: the only movable singularities are poles. This property is rare in nonlinear equations. Poincaré and L. Fuchs showed that any first order equation with the Painlevé property can be transformed into the Weierstrass elliptic equation or the Riccati equation, which can all be solved explicitly in terms of integration and previously known special functions. Émile Picard pointed out that for orders greater than 1, movable essential singularities can occur, and found a special case of what was later called Painleve VI equation (see below). (For orders greater than 2 the solutions can have moving natural boundaries.) Around 1900, Paul Painlevé studied second order differential equations with no movable singularities. He found that up to certain transformations, every such equation of the form

(with a rational function) can be put into one of fifty canonical forms (listed in ). found that forty four of the fifty equations are reducible in the sense that they can be solved in terms of previously known functions, leaving just six equations requiring the introduction of new special functions to solve them. There were some computational errors, and as a result he missed three of the equations, including the general form of Painleve VI. The errors were fixed and classification completed by Painlevé's student Bertrand Gambier. Independently of Painlevé and Gambier, equation Painleve VI was found by Richard Fuchs from completely different considerations: he studied isomonodromic deformations of linear differential equations with regular singularities. It was a controversial open problem for many years to show that these six equations really were irreducible for generic values of the parameters (they are sometimes reducible for special parameter values; see below), but this was finally proved by and These six second order nonlinear differential equations are called the Painlevé equations and their solutions are called the Painlevé transcendents. The most general form of the sixth equation was missed by Painlevé, but was discovered in 1905 by Richard Fuchs (son of Lazarus Fuchs), as the differential equation satisfied by the singularity of a second order Fuchsian equation with 4 regular singular points on the projective line under monodromy preserving deformations. It was added to Painlevé's list by
tried to extend Painlevé's work to higher order equations, finding some third order equations with the Painlevé property.

Симметрии

Трансформация Баклунда — это преобразование зависимых и независимых переменных дифференциального уравнения, приводящее к подобному уравнению. Уравнения Пайнлеве обладают дискретными группами преобразований Баклунда, действующих на них, которые можно использовать для получения новых решений из известных.

Отношения с другими областями

Одной из основных причин изучения уравнений Пайнлеве является их связь с инвариантностью монодромии линейных систем с регулярными сингулярностями при изменении положения полюсов. В частности, уравнение Пайнлеве VI было открыто Ричардом Фуксом благодаря этой связи. Эта тема описана в статье об изомонодромических деформациях. Уравнения Пайнлеве являются всеми возможными понижениями порядка интегрируемых уравнений в частных производных; см. Уравнения Пайнлеве являются всеми возможными понижениями порядка самодвойных уравнений Янга — Миллса; см. Трансценденты Пайнлеве возникают в теории случайных матриц в формуле распределения Трейси — Видома, в двумерной модели Айзинга, в асимметричном процессе простого исключения и в двумерной квантовой гравитации. Уравнение Пайнлеве VI появляется в двухмерной конформной теории поля: оно удовлетворяется комбинациями конформных блоков при значениях и , где — центральный заряд алгебры Вирасоро.