Кіріспе
Берілген үшбұрышты нүктелерге қатысты геометриялық түрлендіру.
NOTOC
In geometry, the isogonal conjugate of a point P with respect to a triangle △ABC is constructed by reflecting the lines PA, PB, PC about the angle bisectors of A, B, C respectively. These three reflected lines concur at the isogonal conjugate of P. (This definition applies only to points not on a sideline of triangle △ABC.) This is a direct result of the trigonometric form of Ceva's theorem. The isogonal conjugate of a point P is sometimes denoted by P*. The isogonal conjugate of P* is P.
The isogonal conjugate of the incentre I is itself. The isogonal conjugate of the orthocentre H is the circumcentre O. The isogonal conjugate of the centroid G is (by definition) the symmedian point K. The isogonal conjugates of the Fermat points are the isodynamic points and vice versa. The Brocard points are isogonal conjugates of each other. In trilinear coordinates, if is a point not on a sideline of triangle △ABC, then its isogonal conjugate is For this reason, the isogonal conjugate of X is sometimes denoted by The set S of triangle centers under the trilinear product, defined by
is a commutative group, and the inverse of each X in S is
As isogonal conjugation is a function, it makes sense to speak of the isogonal conjugate of sets of points, such as lines and circles. For example, the isogonal conjugate of a line is a circumconic; specifically, an ellipse, parabola, or hyperbola according as the line intersects the circumcircle in 0, 1, or 2 points. The isogonal conjugate of the circumcircle is the line at infinity. Several well known cubics (e. g., Thompson cubic, Darboux cubic, Neuberg cubic) are self isogonal conjugate, in the sense that if X is on the cubic, then is also on the cubic.
Геометрияда, △ABC үшбұрышына қатысты P нүктесінің теңбұрышты конъюгаты PA, PB, PC түзулерін сәйкесінше A, B, C бұрыштарының биссектрисалары бойынша кері бейнелеу арқылы құрастырылады. Бұл үш кері бейнеленген түзу P нүктесінің теңбұрышты конъюгатында қиылысады. (Бұл анықтама тек △ABC үшбұрышының қабырғасында жатпайтын нүктелерге қолданылады.) Бұл Сева теоремасының тригонометриялық түрінен тікелей шығады. P нүктесінің теңбұрышты конъюгаты кейде P* деп белгіленеді. P* нүктесінің теңбұрышты конъюгаты P болады.
NOTOC
In geometry, the isogonal conjugate of a point P with respect to a triangle △ABC is constructed by reflecting the lines PA, PB, PC about the angle bisectors of A, B, C respectively. These three reflected lines concur at the isogonal conjugate of P. (This definition applies only to points not on a sideline of triangle △ABC.) This is a direct result of the trigonometric form of Ceva's theorem. The isogonal conjugate of a point P is sometimes denoted by P*. The isogonal conjugate of P* is P.
The isogonal conjugate of the incentre I is itself. The isogonal conjugate of the orthocentre H is the circumcentre O. The isogonal conjugate of the centroid G is (by definition) the symmedian point K. The isogonal conjugates of the Fermat points are the isodynamic points and vice versa. The Brocard points are isogonal conjugates of each other. In trilinear coordinates, if is a point not on a sideline of triangle △ABC, then its isogonal conjugate is For this reason, the isogonal conjugate of X is sometimes denoted by The set S of triangle centers under the trilinear product, defined by
is a commutative group, and the inverse of each X in S is
As isogonal conjugation is a function, it makes sense to speak of the isogonal conjugate of sets of points, such as lines and circles. For example, the isogonal conjugate of a line is a circumconic; specifically, an ellipse, parabola, or hyperbola according as the line intersects the circumcircle in 0, 1, or 2 points. The isogonal conjugate of the circumcircle is the line at infinity. Several well known cubics (e. g., Thompson cubic, Darboux cubic, Neuberg cubic) are self isogonal conjugate, in the sense that if X is on the cubic, then is also on the cubic.
I центрінің теңбұрышты конъюгаты – өзі. Ортоцентр H-тың теңбұрышты конъюгаты – шеңбердің центрі O. G центроидтің теңбұрышты конъюгаты (анықтама бойынша) K симмедиан нүктесі болып табылады. Ферма нүктелерінің теңбұрышты конъюгаттары – изодинамикалық нүктелер, және керісінше. Брокард нүктелері бір-бірінің теңбұрышты конъюгаттары болып табылады. Егер трилинейлік координаттарда нүкте △ABC үшбұрышының қабырғасында жатпаса, онда оның теңбұрышты конъюгаты болады. Осы себепті, X нүктесінің теңбұрышты конъюгаты кейде S – үшбұрыштың орталарының жиыны арқылы белгіленеді. Бұл жиын үшбұрыштык көбейтінді арқылы анықталады. Теңбұрышты конъюгация функция болғандықтан, түзулер және шеңберлер сияқты нүктелер жиынының теңбұрышты конъюгаты туралы айтуға болады. Мысалы, түзудің теңбұрышты конъюгаты – шеңберге жататын коникалық қисық; нақтырақ айтқанда, түзу шеңберді 0, 1 немесе 2 нүктеде қиып өткеніне байланысты эллипс, парабола немесе гипербола. Шеңбердің теңбұрышты конъюгаты – шексіздіктегі түзу. Бірнеше белгілі кубикалық қисықтар (мысалы, Томпсон кубигі, Дарбукс кубигі, Нейберг кубигі) өзіндік теңбұрышты конъюгат болып табылады, яғни егер X кубикалық қисықта жатса, онда да кубикалық қисықта жатады.
NOTOC
In geometry, the isogonal conjugate of a point P with respect to a triangle △ABC is constructed by reflecting the lines PA, PB, PC about the angle bisectors of A, B, C respectively. These three reflected lines concur at the isogonal conjugate of P. (This definition applies only to points not on a sideline of triangle △ABC.) This is a direct result of the trigonometric form of Ceva's theorem. The isogonal conjugate of a point P is sometimes denoted by P*. The isogonal conjugate of P* is P.
The isogonal conjugate of the incentre I is itself. The isogonal conjugate of the orthocentre H is the circumcentre O. The isogonal conjugate of the centroid G is (by definition) the symmedian point K. The isogonal conjugates of the Fermat points are the isodynamic points and vice versa. The Brocard points are isogonal conjugates of each other. In trilinear coordinates, if is a point not on a sideline of triangle △ABC, then its isogonal conjugate is For this reason, the isogonal conjugate of X is sometimes denoted by The set S of triangle centers under the trilinear product, defined by
is a commutative group, and the inverse of each X in S is
As isogonal conjugation is a function, it makes sense to speak of the isogonal conjugate of sets of points, such as lines and circles. For example, the isogonal conjugate of a line is a circumconic; specifically, an ellipse, parabola, or hyperbola according as the line intersects the circumcircle in 0, 1, or 2 points. The isogonal conjugate of the circumcircle is the line at infinity. Several well known cubics (e. g., Thompson cubic, Darboux cubic, Neuberg cubic) are self isogonal conjugate, in the sense that if X is on the cubic, then is also on the cubic.
Нүктедің теңбұрышты конъюгатының басқа құрылымы
Кез келген үшбұрыш △ABC жазықтығындағы P нүктесі үшін, P-нің BC, CA, AB қабырғаларындағы кері бейнелері болсын. Онда шеңбердің центрі P-нің теңбұрышты түйіндесі болады.