Кіріспе
Математикада Вольтерра интегралдық теңдеулері интегралдық теңдеулердің ерекше түрі болып табылады. Олар бірінші және екінші типті деп аталатын екі топқа бөлінеді. Бірінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуі:
In mathematics, the Volterra integral equations are a special type of integral equations. They are divided into two groups referred to as the first and the second kind. A linear Volterra equation of the first kind is
where f is a given function and x is an unknown function to be solved for. A linear Volterra equation of the second kind is
In operator theory, and in Fredholm theory, the corresponding operators are called Volterra operators. A useful method to solve such equations, the Adomian decomposition method, is due to George Adomian. A linear Volterra integral equation is a convolution equation if
The function in the integral is called the kernel. Such equations can be analyzed and solved by means of Laplace transform techniques. For a weakly singular kernel of the form with , Volterra integral equation of the first kind can conveniently be transformed into a classical Abel integral equation. The Volterra integral equations were introduced by Vito Volterra and then studied by Traian Lalescu in his 1908 thesis, Sur les équations de Volterra, written under the direction of Émile Picard. In 1911, Lalescu wrote the first book ever on integral equations. Volterra integral equations find application in demography as Lotka's integral equation, the study of viscoelastic materials,
in actuarial science through the renewal equation, and in fluid mechanics to describe the flow behavior near finite sized boundaries.
мұнда f – берілген функция, ал x – шешілуі тиіс белгісіз функция. Екінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуі:
In mathematics, the Volterra integral equations are a special type of integral equations. They are divided into two groups referred to as the first and the second kind. A linear Volterra equation of the first kind is
where f is a given function and x is an unknown function to be solved for. A linear Volterra equation of the second kind is
In operator theory, and in Fredholm theory, the corresponding operators are called Volterra operators. A useful method to solve such equations, the Adomian decomposition method, is due to George Adomian. A linear Volterra integral equation is a convolution equation if
The function in the integral is called the kernel. Such equations can be analyzed and solved by means of Laplace transform techniques. For a weakly singular kernel of the form with , Volterra integral equation of the first kind can conveniently be transformed into a classical Abel integral equation. The Volterra integral equations were introduced by Vito Volterra and then studied by Traian Lalescu in his 1908 thesis, Sur les équations de Volterra, written under the direction of Émile Picard. In 1911, Lalescu wrote the first book ever on integral equations. Volterra integral equations find application in demography as Lotka's integral equation, the study of viscoelastic materials,
in actuarial science through the renewal equation, and in fluid mechanics to describe the flow behavior near finite sized boundaries.
Операторлар теориясында және Фредгольм теориясында сәйкес операторлар Вольтерра операторлары деп аталады. Мұндай теңдеулерді шешудің пайдалы әдісі – Джордж Адомианға тиесілі Адомианның ыдырау әдісі. Егер интегралдағы функция ядро деп аталса, онда сызықтық Вольтерра интегралдық теңдеуі конволюциялық теңдеу болып табылады. Мұндай теңдеулерді Лаплас түрлендіру әдістері арқылы талдауға және шешуге болады. Формасы болып келетін әлсіз дара ядро үшін, бірінші түрдегі Вольтерра интегралдық теңдеуін классикалық Абель интегралдық теңдеуіне ыңғайлы түрде түрлендіруге болады. Вольтерра интегралдық теңдеулерін Вито Вольтерра енгізді, ал кейін Траян Лалеску Эмиль Пикардың жетекшілігімен жазылған өзінің 1908 жылғы «Sur les équations de Volterra» диссертациясында зерттеді. 1911 жылы Лалеску интегралдық теңдеулер туралы алғашқы кітапты жазды. Вольтерра интегралдық теңдеулері демографияда Лотка интегралдық теңдеуі ретінде, вискоэластикалық материалдарды зерттеуде, актуарлық ғылымда жаңару теңдеуі арқылы және шекті өлшемді шекараларға жақын ағыс мінез-құлқын сипаттау үшін сұйықтық механикасында қолданылады.
In mathematics, the Volterra integral equations are a special type of integral equations. They are divided into two groups referred to as the first and the second kind. A linear Volterra equation of the first kind is
where f is a given function and x is an unknown function to be solved for. A linear Volterra equation of the second kind is
In operator theory, and in Fredholm theory, the corresponding operators are called Volterra operators. A useful method to solve such equations, the Adomian decomposition method, is due to George Adomian. A linear Volterra integral equation is a convolution equation if
The function in the integral is called the kernel. Such equations can be analyzed and solved by means of Laplace transform techniques. For a weakly singular kernel of the form with , Volterra integral equation of the first kind can conveniently be transformed into a classical Abel integral equation. The Volterra integral equations were introduced by Vito Volterra and then studied by Traian Lalescu in his 1908 thesis, Sur les équations de Volterra, written under the direction of Émile Picard. In 1911, Lalescu wrote the first book ever on integral equations. Volterra integral equations find application in demography as Lotka's integral equation, the study of viscoelastic materials,
in actuarial science through the renewal equation, and in fluid mechanics to describe the flow behavior near finite sized boundaries.
Бірінші түрдегі Вольтерра теңдеуін екінші түрге аудару
Бірінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуін екінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуіне әрқашан келтіруге болады, егер бірінші түрдегі Вольтерра теңдеуінің туындысын алсақ: осы теңдеуді бөліп жазсақ: және деп белгілесек, бірінші түрдегі теңдеуді екінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуіне түрлендіру аяқталады.
Трапециялы ережені қолдана отырып сандық шешім
Екінші түрдегі сызықтық Вольтерра теңдеуінің сандық шешімін есептеудің стандартты әдісі трапеция тәсілі болып табылады, ол бірдей аралықтағы кіші интервалдар үшін былай беріледі: Кіші интервалдар үшін аралықтар тең болған жағдайда, Вольтерра теңдеуінің интегралдық бөлігін былай жуықтауға болады: , және деп белгілесек, сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз: Бұл матрицалық теңдеуге эквивалентті: Жақсы қасиеттері бар ядролар үшін трапеция тәсілі жақсы нәтижелер береді.
Қолданба: қираған теория
Вольтерра интегралды теңдеулері пайда болатын бір сала – құлдырау теориясы, актуарлық ғылымдағы төлемсіздік тәуекелін зерттеу. Мақсаты – құлдырау ықтималдығын анықтау, мұнда бастапқы артық капитал, ал – құлдырау уақыты. Құлдырау теориясының классикалық моделінде, таза ақшалай қаражаттың жағдайы бастапқы артық капиталдың, қарқынмен алынатын сыйақы кірісінің және төленген талаптардың функциясы болып табылады: мұнда талаптар санының Пуассон процесі, оның қарқындылығы тең. Осы жағдайларда, құлдырау ықтималдығы мынадай Вольтерра интегралды теңдеу түрінде көрсетілуі мүмкін: мұнда талаптар таралуының аман қалу функциясы.