Введение

В математике интегральные уравнения Вольтерры являются особым типом интегральных уравнений. Они подразделяются на две группы, называемые уравнениями первого и второго рода. Линейное уравнение Вольтерры первого рода имеет вид

где f – заданная функция, а x – неизвестная функция, которую необходимо найти. Линейное уравнение Вольтерры второго рода имеет вид

В теории операторов и теории Фредгольма соответствующие операторы называются операторами Вольтерры. Эффективным методом решения таких уравнений является метод разложения Адомиана, разработанный Джорджем Адомианом. Линейное интегральное уравнение Вольтерры является уравнением свертки, если

Функция в интеграле называется ядром. Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа. Для слабо сингулярного ядра вида с , интегральное уравнение Вольтерры первого рода можно удобно преобразовать в классическое интегральное уравнение Абеля. Интегральные уравнения Вольтерры были введены Вито Вольтеррой и впоследствии исследованы Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года «Sur les équations de Volterra», написанной под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску опубликовал первую книгу, посвященную интегральным уравнениям. Интегральные уравнения Вольтерры находят применение в демографии, например, в интегральном уравнении Лотки, в изучении вязкоупругих материалов, в актуарной математике через уравнение обновления и в гидродинамике для описания поведения потока вблизи границ конечных размеров.

Преобразование уравнения Вольтерры первого рода во второго рода

Линейное уравнение Вольтерры первого рода всегда может быть сведено к линейному уравнению Вольтерры второго рода, при условии, что… Дифференцирование уравнения Вольтерры первого рода дает: Деление обеих частей на приводит к: Обозначив и , мы завершаем преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерры второго рода.

Числовое решение с использованием трапециевого правила

Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерры второго рода является трапециевидное правило, которое для равноотстоящих подинтервалов задается следующим образом: Предполагая равное расстояние между подинтервалами, интегральную часть уравнения Вольтерры можно приблизить как: Определим , , и . Тогда мы получим систему линейных уравнений: Это эквивалентно матричному уравнению: Для "хорошо ведущих себя" ядер трапециевидное правило, как правило, работает эффективно.

Применение: теория руин

Одной из областей, где возникают интегральные уравнения Вольтерры, является теория руины, изучающая риск несостоятельности в актуарной науке. Цель состоит в количественной оценке вероятности руины, где – начальный излишек, а – момент руины. В классической модели теории руины, чистая денежная позиция является функцией начального профицита, премиального дохода, поступающего с интенсивностью , и выплаченных страховых возмещений : где – процесс Пуассона, описывающий количество страховых случаев с интенсивностью . При таких обстоятельствах вероятность руины может быть представлена интегральным уравнением Вольтерры вида: где – функция выживания распределения страховых возмещений.