Кіріспе
Математикада дифференциалдық көптік (сондай-ақ дифференциалдық көптік) – векторлық кеңістікке жергілікті түрде жеткілікті ұқсас көптік түрі, бұл сандық есептеулерді қолдануға мүмкіндік береді. Кез келген көптік кестелер жинағы (атлас) арқылы сипатталуы мүмкін. Содан кейін, жеке кестелер ішінде жұмыс істеген кезде, калькулус идеяларын қолдануға болады, өйткені әрбір кесте калькулустың қалыпты ережелері қолданылатын векторлық кеңістікте орналасқан. Егер кестелер тиісті түрде үйлесімді болса (яғни, бір кестен екіншісіне өту дифференциалданатын болса), онда бір кестеде жасалған есептеулер кез келген басқа дифференциалданатын кестеде жарамды болады. Формальды түрде, дифференциалдық көптік – бұл жаһандық түрде анықталған дифференциалдық құрылымы бар топологиялық көптік. Кез келген топологиялық көптікке оның атласындағы гомеоморфизмдер мен векторлық кеңістіктегі стандартты дифференциалдық құрылымды пайдалану арқылы жергілікті дифференциалдық құрылым беруге болады. Гомеоморфизмдер арқылы туындаған жергілікті координаттық жүйелерде жаһандық дифференциалдық құрылымды туындату үшін, атластағы кестелердің қиылысындағы олардың композициялары тиісті векторлық кеңістікте дифференциалданатын функциялар болуы керек. Басқаша айтқанда, кестелердің анықтамалық облыстары үстіне жатқанда, әрбір кестемен анықталған координаттар атластағы әрбір кестемен анықталған координаттарға қатысты дифференциалдануы керек. Әртүрлі кестелер арқылы анықталған координаттарды бір-бірімен байланыстыратын карталар көшу карталары деп аталады. Абстракті кеңістікте мұндай жергілікті дифференциалдық құрылымды анықтау мүмкіндігі дифференциалдау анықтамасын жаһандық координаттық жүйесі жоқ кеңістікке кеңейтуге мүмкіндік береді. Жергілікті дифференциалдық құрылым жаһандық дифференциалдық жанама кеңістікті, дифференциалдық функцияларды және дифференциалдық тензорлық және векторлық өрістерді анықтауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық көптіктер физикада өте маңызды. Дифференциалдық көптіктердің арнайы түрлері классикалық механика, жалпы салыстырмалылық теориясы және Янг-Миллс теориясы сияқты физикалық теориялардың негізін құрайды. Дифференциалданатын көптіктер үшін калькулусты дамытуға болады. Бұл сыртқы калькулус сияқты математикалық құралдарға әкеледі. Дифференциалдық көптіктердегі калькулустың зерттелуі дифференциалдық геометрия деп аталады. Көптіктің "дифференциалдануы" бірнеше мағынаға ие, соның ішінде: үздіріссіз дифференциалданатын, k рет дифференциалданатын, тегіс (өзінде көптеген мағыналары бар) және аналитикалық.
In mathematics, a differentiable manifold (also differential manifold) is a type of manifold that is locally similar enough to a vector space to allow one to apply calculus. Any manifold can be described by a collection of charts (atlas). One may then apply ideas from calculus while working within the individual charts, since each chart lies within a vector space to which the usual rules of calculus apply. If the charts are suitably compatible (namely, the transition from one chart to another is differentiable), then computations done in one chart are valid in any other differentiable chart. In formal terms, a differentiable manifold is a topological manifold with a globally defined differential structure. Any topological manifold can be given a differential structure locally by using the homeomorphisms in its atlas and the standard differential structure on a vector space. To induce a global differential structure on the local coordinate systems induced by the homeomorphisms, their compositions on chart intersections in the atlas must be differentiable functions on the corresponding vector space. In other words, where the domains of charts overlap, the coordinates defined by each chart are required to be differentiable with respect to the coordinates defined by every chart in the atlas. The maps that relate the coordinates defined by the various charts to one another are called transition maps. The ability to define such a local differential structure on an abstract space allows one to extend the definition of differentiability to spaces without global coordinate systems. A locally differential structure allows one to define the globally differentiable tangent space, differentiable functions, and differentiable tensor and vector fields. Differentiable manifolds are very important in physics. Special kinds of differentiable manifolds form the basis for physical theories such as classical mechanics, general relativity, and Yang–Mills theory. It is possible to develop a calculus for differentiable manifolds. This leads to such mathematical machinery as the exterior calculus. The study of calculus on differentiable manifolds is known as differential geometry. "Differentiability" of a manifold has been given several meanings, including: continuously differentiable, k times differentiable, smooth (which itself has many meanings), and analytic.
Тарих
Дифференциалдық геометрияның жеке ғылым ретінде қалыптасуы, әдетте, Карл Фридрих Гаусс пен Бернхард Риманға байланыстырылады. Риман көптүрліліктерді алғаш рет Геттингендегі факультет алдындағы танымал хабилитациялық лекциясында сипаттады. Ол көптік туралы идеяны белгілі бір нысанды жаңа бағытта өзгерту арқылы интуитивті түрде түсіндірді және кейінірек формалды дамуда координаттар жүйелері мен сызбалардың рөлін болжады: «n өлшемді көптік ұғымын құрастырып, оның нағыз сипатының орнын анықтау n шаманың анықталуына келтірілуі мүмкін екендігінде екенін таптым». – Б. Риман. Джеймс Клерк Максвелл, сондай-ақ математиктер Грегорио Риччи Курбастро және Туллио Леви-Чивита сынды физиктердің еңбектері тензорлық талдаудың және коварианттық ұғымының дамуына ықпал етті, ол геометриялық қасиетті координаттық түрлендірулерге қатысты өзгермейтін қасиет ретінде анықтайды. Бұл идеялар Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясында және оның негізгі эквиваленттілік принципінде маңызды қолданыс тапты. 2 өлшемді көптүрліліктердің қазіргі заманғы анықтамасын Херман Вейль 1913 жылы жариялаған Риман беттері туралы кітабында берген. Атлас түсінігіндегі көптүрліліктердің қабылданған жалпы анықтамасы Хасслер Уитниге тиесілі.
Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, – B. Riemann
The works of physicists such as James Clerk Maxwell, and mathematicians Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita led to the development of tensor analysis and the notion of covariance, which identifies an intrinsic geometric property as one that is invariant with respect to coordinate transformations. These ideas found a key application in Albert Einstein's theory of general relativity and its underlying equivalence principle. A modern definition of a 2 dimensional manifold was given by Hermann Weyl in his 1913 book on Riemann surfaces. The widely accepted general definition of a manifold in terms of an atlas is due to Hassler Whitney.
Атластар
Келіңіз, M топологиялық кеңістік болсын. M-дегі график (U, φ) M-нің ашық U жиынынан және U-ден φ гомеоморфизмінен 'R'^(n) кейбір Евклид кеңістігінің ашық жиынына тұрады. Шамалы бейресми түрде, φ: U → 'R'^(n) графигіне сілтеме жасауға болады, яғни φ кескіні 'R'^(n) ашық жиыны және φ оның кескінінде гомеоморфизм болады; кейбір авторлар үшін бұл φ: U → 'R'^(n) өзі гомеоморфизм екенін білдіруі мүмкін. График болуы M-де дифференциалдық есептеулер жасау мүмкіндігін көрсетеді; алайда, бұл жағдай толық қанағаттандырмайды. M-де екінші график (V, ψ) қарастырайық, және U мен V ортақ нүктелерге ие болсын. Екі сәйкес функция u ∘ φ^(−1) және u ∘ ψ^(−1) бір-бірімен қайта параметрлену арқылы байланысты: оң жақ бөлігінің табиғи домені φ(U ∩ V) болады. φ және ψ гомеоморфизмдер болғандықтан, ψ ∘ φ^(−1) φ(U ∩ V)-ден ψ(U ∩ V)-ге гомеоморфизм болады. Осылайша, бұл тек үздіксіз функция, сондықтан егер u ∘ φ^(−1) және u ∘ ψ^(−1) екеуі де дифференциалданатын болса, олардың дифференциалдық қасиеттері міндетті түрде тығыз байланысты болмайды, себебі ψ ∘ φ^(−1) тізбекті ереже қолданып, оң жақ бөлігінен сол жақ бөлігінің ішінара туындыларын есептеу үшін жеткілікті дифференциалданатындығы кепілденбеді. Егер c: 'R' → M функцияларын қарастырсақ, дәл осындай мәселе туындайды; бұл репараметризация формуласына әкеледі, онда бұрынғыдай байқау жасауға болады. Бұл мәселе "дифференциалданатын атлас" енгізу арқылы шешіледі, ол M-дегі графиктер жиынтығын анықтайды, онда ψ ∘ φ^(−1) ауысу карталарының барлығы дифференциалданады. Бұл жағдайды өте анық етеді: егер u ∘ φ^(−1) дифференциалданатын болса, онда жоғарыдағы бірінші репараметризация формуласына сәйкес, u ∘ ψ^(−1) картасы да ψ(U ∩ V) аймағында дифференциалданады, және керісінше. Сонымен қатар, осы екі картаның туындылары тізбекті ереже арқылы байланысты. Бұл берілген атласқа қатысты, домені немесе мәндерінің жиыны M болатын дифференциалданатын карталардың түсінігін, сондай-ақ мұндай карталардың туындысының түсінігін жеңілдетеді. Формальды түрде, "дифференциалданатын" сөзі біршама түсініксіз, себебі әртүрлі авторлар оны әртүрлі мағынада қолданады: кейде ол бірінші туындылардың болуын, кейде үздіксіз бірінші туындылардың болуын, ал кейде шексіз көп туындылардың болуын білдіреді. Келесісінде "дифференциалданатын атлас" дегеннің әртүрлі (біржақты емес) мағыналарының ресми анықтамасы берілген. Жалпы алғанда, k ≥ 1 болған жағдайда, "дифференциалданатын" термині барлық осы мүмкіндіктерді қамтитын жалпы термин ретінде қолданылады. M топологиялық кеңістігі үшін C^(k) атласы – {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A графиктер жиынтығы, мұнда {Uα}α∈A M-ді жабады, және A-дағы барлық α және β үшін ауысу картасы [[Smoothness map a smooth or C^(∞) атласы {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A тегіс картасы аналитикалық немесе C^(ω) атласы {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A нақты аналитикалық картасы голоморфты атлас {φα : Uα → 'C'^(n)}α∈A голоморфты картасы. Барлық нақты аналитикалық карталар тегіс болғандықтан, және әрбір тегіс карта кез келген k үшін C^(k) болады, кез келген аналитикалық атласты тегіс атлас ретінде қарастыруға болады, ал әрбір тегіс атласты C^(k) атлас ретінде қарастыруға болады. Бұл тізбекті голоморфты атластарды қосу үшін кеңейтуге болады, егер 'C'^(n) ашық жиынтықтары арасындағы кез келген голоморфты картаны 'R'^(2n) ашық жиынтықтары арасындағы нақты аналитикалық карта ретінде қарастыруға болатынын ескере отырып. Топологиялық кеңістікте дифференциалданатын атлас берілген жағдайда, егер график берілген дифференциалданатын атласты құрайтын графиктер жинағына қосылса, дифференциалданатын атлас пайда болса, онда график атласқа қатысты дифференциалданатын үйлесімді немесе дифференциалданатын деп айтылады. Дифференциалданатын атлас берілген атласқа қатысты дифференциалданатын барлық графиктерден тұратын максималды дифференциалданатын атласты анықтайды. Максималды атлас әрқашан өте үлкен болады. Мысалы, максималды атластағы кез келген график оның доменінің кездейсоқ ашық жиынына шектеулі болса, ол да максималды атласта болады. Максималды тегіс атлас тегіс құрылым деп те аталады; максималды голоморфты атлас күрделі құрылым деп те аталады. Максималды атластарды тікелей пайдаланудан аулақ болатын балама, бірақ теңдестірілген анықтама – дифференциалданатын атластардың эквиваленттілік кластарын қарастыру, онда егер бір атластың әрбір графигі екінші атласқа қатысты дифференциалданатын үйлесімді болса, екі дифференциалданатын атлас эквивалентті деп есептеледі. Бейресми айтқанда, бұл тегіс манифольдпен жұмыс істегенде, тек бірнеше графиктерден тұратын жалғыз дифференциалданатын атласты пайдалануға болады, көптеген басқа графиктер мен дифференциалданатын атластар да бірдей заңды екенін ескере отырып. Доменнің инварианттығына сәйкес, дифференциалданатын атласы бар топологиялық кеңістіктің әрбір байланысты компоненті анықталған өлшемге n ие. Бұл голоморфты атлас жағдайында шағын түсініксіздік тудырады, себебі сәйкес өлшем аналитикалық, тегіс немесе C^(k) атлас ретінде қарастырылғандағы өлшемінің жартысына тең болады. Осы себепті, голоморфты атласы бар топологиялық кеңістіктің "нақты" және "кешенді" өлшемдеріне жеке түрде сілтеме жасалады.
the natural domain of the right hand side being φ(U ∩ V). Since φ and ψ are homeomorphisms, it follows that ψ ∘ φ^(−1) is a homeomorphism from φ(U ∩ V) to ψ(U ∩ V). Consequently it's just a bicontinuous function, thus even if both functions u ∘ φ^(−1) and u ∘ ψ^(−1) are differentiable, their differential properties will not necessarily be strongly linked to one another, as ψ ∘ φ^(−1) is not guaranteed to be sufficiently differentiable for being able to compute the partial derivatives of the LHS applying the chain rule to the RHS. The same problem is found if one considers instead functions c : 'R' → M; one is led to the reparametrization formula
at which point one can make the same observation as before. This is resolved by the introduction of a "differentiable atlas" of charts, which specifies a collection of charts on M for which the transition maps ψ ∘ φ^(−1) are all differentiable. This makes the situation quite clean: if u ∘ φ^(−1) is differentiable, then due to the first reparametrization formula listed above, the map u ∘ ψ^(−1) is also differentiable on the region ψ(U ∩ V), and vice versa. Moreover, the derivatives of these two maps are linked to one another by the chain rule. Relative to the given atlas, this facilitates a notion of differentiable mappings whose domain or range is M, as well as a notion of the derivative of such maps. Formally, the word "differentiable" is somewhat ambiguous, as it is taken to mean different things by different authors; sometimes it means the existence of first derivatives, sometimes the existence of continuous first derivatives, and sometimes the existence of infinitely many derivatives. The following gives a formal definition of various (nonambiguous) meanings of "differentiable atlas". Generally, "differentiable" will be used as a catch all term including all of these possibilities, provided k ≥ 1. Given a topological space M a C^(k) atlas is a collection of charts {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A such that {Uα}α∈A covers M, and such that for all α and β in A, the transition map is a [[Smoothness map a smooth or C^( ∞) atlas {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A a smooth map an analytic or C^( ω) atlas {φα : Uα → 'R'^(n)}α∈A a real analytic map a holomorphic atlas {φα : Uα → 'C'^(n)}α∈A a holomorphic map
Since every real analytic map is smooth, and every smooth map is C^(k) for any k, one can see that any analytic atlas can also be viewed as a smooth atlas, and every smooth atlas can be viewed as a C^(k) atlas. This chain can be extended to include holomorphic atlases, with the understanding that any holomorphic map between open subsets of 'C'^(n) can be viewed as a real analytic map between open subsets of 'R'^(2n). Given a differentiable atlas on a topological space, one says that a chart is differentiably compatible with the atlas, or differentiable relative to the given atlas, if the inclusion of the chart into the collection of charts comprising the given differentiable atlas results in a differentiable atlas. A differentiable atlas determines a maximal differentiable atlas, consisting of all charts which are differentiably compatible with the given atlas. A maximal atlas is always very large. For instance, given any chart in a maximal atlas, its restriction to an arbitrary open subset of its domain will also be contained in the maximal atlas. A maximal smooth atlas is also known as a smooth structure; a maximal holomorphic atlas is also known as a complex structure. An alternative but equivalent definition, avoiding the direct use of maximal atlases, is to consider equivalence classes of differentiable atlases, in which two differentiable atlases are considered equivalent if every chart of one atlas is differentiably compatible with the other atlas. Informally, what this means is that in dealing with a smooth manifold, one can work with a single differentiable atlas, consisting of only a few charts, with the implicit understanding that many other charts and differentiable atlases are equally legitimate. According to the invariance of domain, each connected component of a topological space which has a differentiable atlas has a well defined dimension n. This causes a small ambiguity in the case of a holomorphic atlas, since the corresponding dimension will be one half of the value of its dimension when considered as an analytic, smooth, or C^(k) atlas. For this reason, one refers separately to the "real" and "complex" dimension of a topological space with a holomorphic atlas.
Манифольдер
Дифференциалдалатын көптік — Хаусдорф және екінші саналатын топологиялық кеңістік M, M-де максималды дифференциалдалатын атласпен бірге. Негізгі теорияның көп бөлігі Хаусдорф және екінші саналатын шарттарсыз дамытылуы мүмкін, бірақ олар жоғары деңгейдегі теорияның көп бөлігі үшін өте маңызды. Олар, негізінен, bump функциялары мен бірлікке бөліністердің жалпы болуымен тең, және олар екеуі де кеңінен қолданылады. C^(0) көптігінің ұғымы топологиялық көптіктің ұғымымен сәйкес келеді. Дегенмен, назар аудару керек бір маңызды айырмашылық бар. Топологиялық кеңістік берілген кезде, оның топологиялық көптік болатынына байланысты сұрақ қоюдың мәні бар. Керісінше, берілген топологиялық кеңістік (мысалы) тегіс көптік болатынына байланысты сұрақ қоюдың мәні жоқ, себебі тегіс көптік ұғымы қосымша құрылымды талап етеді – тегіс атластың нақты көрсетілуін. Алайда, белгілі бір топологиялық кеңістікке тегіс көптіктің құрылымын беру мүмкін емес деп айтуға болады. Анықтамаларды қайта формулиреуге болады, сонда мұндай теңгерімсіздік болмайды; M жиынынан бастап (топологиялық кеңістік орнына), осы жағдайда тегіс атластың табиғи аналогын қолданып, M-де топологиялық кеңістіктің құрылымын анықтауға болады.
Евклидтік бөлшектерді біріктіріп, көптік құрастыру
Жоғарыда келтірілген анықтамаларды кері инженериялау арқылы көпқырлылықтарды құруға қатысты бір көзқарас алуға болады. Идеясы – координаттық аймақтар мен өту карталарының бейнелерінен бастап, осы деректердің негізінде ғана көпқырлылықты құру. Жоғарыда талқыланғандай, біз "тегіс" контекстін қолданамыз, бірақ бәрі басқа жағдайларда да жақсы жұмыс істейді. Индекстеу жиыны берілген болсын, болып табылатын кеңістігінің ашық ішкі жиындарының жиынтығы және әрқайсысы үшін болып табылатын кеңістігінің ашық (бос болуы мүмкін) ішкі жиыны және тегіс функция болсын. Егер сәйкестік функциясы, сәйкестік функциясы және сәйкестік функциясы болса, онда бірлестігінде эквиваленттілік қатынасын былай анықтаймыз: еквивалентті екендігі. Кейбір техникалық жұмыстардан кейін, эквиваленттілік кластары жиынына табиғи түрде топологиялық құрылым беруге болатынын және осы үшін қолданылған координаттық аймақтар тегіс атласты құрайтынын көрсетуге болады. Аналитикалық құрылымдарды біріктіруге қатысты (ішкі жиын), аналитикалық түрлерді қараңыз.
Дифференциалданған функциялар
Егер f - P нүктесінің маңында анықталған кез келген координаталық диаграммада дифференциалдалатын болса, онда n өлшемді дифференциалдалатын көптүрлі M-дегі f нақты бағаланған функциясы p ∈ M нүктесінде дифференциалдалатын деп аталады. Әрі дәл айтқанда, егер – p-ні қамтитын ашық жиын болатын дифференциалдалатын диаграмма болса және – диаграмманы анықтайтын бейнелеу болса, онда f, егер ғана дегенде дифференциалдалатын болса, p нүктесінде дифференциалдалатын болады, яғни – ашық жиынынан -ге қарастырылатын жиынның ішкі жиыны ретінде – дифференциалдалатын функция болады. Қалай болғанда да, көптеген диаграммалар болуы мүмкін; алайда, дифференциалдалатындықтың анықтамасы p нүктесіндегі диаграмма таңдауына тәуелді емес. Бір диаграмма мен екінші диаграмма арасындағы өту функцияларына қолданылатын тізбекті ережеден, егер f p нүктесінде кез келген нақты диаграммада дифференциалдалатын болса, онда ол p нүктесінде барлық диаграммаларда дифференциалдалатындығы шығады. Осыған ұқсас қарастырулар Ck функцияларын, тегіс функцияларды және аналитикалық функцияларды анықтауға да қолданылады.
is differentiable at , that is is a differentiable function from the open set , considered as a subset of , to In general, there will be many available charts; however, the definition of differentiability does not depend on the choice of chart at p. It follows from the chain rule applied to the transition functions between one chart and another that if f is differentiable in any particular chart at p, then it is differentiable in all charts at p. Analogous considerations apply to defining Ck functions, smooth functions, and analytic functions.
Функцияларды ажырату
Дифференциалдауға болатын көптүрлілікте функцияның туындысын анықтаудың әртүрлі тәсілдері бар, олардың ең негізгісі – бағытталған туынды. Бағытталған туындының анықтамасы, көптүрлілікте векторларды анықтауға қолайлы аффиндік құрылымның болмауымен қиындатылады. Сондықтан, бағытталған туынды векторлардың орнына көптүрліліктегі қисықтарды қарастырады.
Манифолдтар арасындағы сәйкестендірулердің ажыратылуы
М және N екі дифференциалданатын көптік, олардың өлшемдері m және n, ал f – M-ден N-ге дейінгі функция. Дифференциалданатын көптіктер топологиялық кеңістіктер болғандықтан, f үздісіз болудың мағынасын білеміз. Бірақ k ≥ 1 үшін "f – Ck(M, N)" нені білдіреді? f екі евклидтік кеңістік арасындағы функция болғанда бұл нені білдіретінін білеміз, сондықтан егер f-ті M-нің координаталық аймағымен және N-нің координаталық аймағымен құрастырсақ, евклидтік кеңістіктен M-ге, содан кейін N-ге, және қайтадан евклидтік кеңістікке өтетін бейнелеу аламыз. Осы бейнелеудің Ck(Rm, Rn) болуын білеміз. "f – Ck(M, N)" дегенді, f-тің координаталық аймақтармен жасалған барлық осындай композициялары Ck(Rm, Rn) болатындай деп анықтаймыз. Тағы да, тізбектік ереже дифференциалдану идеясы M және N атластарындағы қай координаталық аймақтар таңдалғанына тәуелді емес екеніне кепілдік береді. Дегенмен, туындыны анықтау өзіне көбірек күш салуды талап етеді. Егер M немесе N өзі евклидтік кеңістік болса, оны бейнелеу үшін координаталық аймақ қажет емес.
Тангенттік түйін
Нүктенің тангентикалық кеңістігі сол нүктедегі мүмкін бағыттық туындылардан құралады және оның өлшемдері n, көптік өлшемдерімен бірдей. Нүктеге жергілікті (сингуляр емес) xk координаттары жиынтығы үшін, координаттардың туындылары тангентикалық кеңістіктің голономдық негізін анықтайды. Барлық нүктелердегі тангентикалық кеңістіктер жиынтығы өз кезегінде 2n өлшемді тангентикалық бундельді құрайды. Тангентикалық бундель – тангенттік векторлардың жатқан жері, және ол өзі дифференциалданатын көптік. Лагранжиан – тангентикалық бундельдегі функция. Тангентикалық бундельді R (нақты сызықтан) M-ге дейінгі 1-ші соққылардың бундели деп те анықтауға болады.
Тангентикалық бундель үшін Uα × Rn негізіндегі карталардан тұратын атлас құруға болады, мұнда Uα – M атласындағы карталардың біреуін білдіреді. Бұл жаңа карталардың әрқайсысы Uα карталарының тангентикалық бундели болып табылады. Бұл атластағы өту карталары бастапқы көптіктердегі өту карталарынан анықталады және бастапқы дифференциалдану класын сақтайды.
Котагенттік бума
Векторлық кеңістіктің қос кеңістігі — векторлық кеңістіктегі нақты мәнді сызықтық функциялар жиынтығы. Бір нүктедегі котангенттік кеңістік — сол нүктедегі тангенттік кеңістіктің дуалы болып табылады және элементтері котангенттік векторлар деп аталады; котангенттік бундель — табиғи дифференциалданатын көптеу құрылымымен бірге барлық котангенттік векторлардың жиынтығы. Тангенстік бундель сияқты, котангенттік бундель де дифференциалданатын көптеу болып табылады. Гамильтониан — котангенттік бундельдегі скаляр шама. Котангенттік бундельдің жалпы кеңістігі симплектикалық көптеу құрылымына ие. Котангенттік векторларды кейде ковекторлар деп те атайды. Котангенттік бундельді M-ден R-ге дейінгі функциялардың 1-ші соққысының бундели ретінде де анықтауға болады.
Котангенттік кеңістіктің элементтерін инфинитезималды жылжу ретінде қарастыруға болады: егер f — дифференциалданатын функция болса, онда әрбір nүкте p үшін dfp котангенттік векторын анықтауға болады, ол Xp тангенттік векторын Xp-ге қатысты f функциясының туындысына жібереді. Дегенмен, барлық ковекторлық өрістерді осылай бейнелеу мүмкін емес. Мүмкін болатындары нақты дифференциалдар деп аталады. Берілген жергілікті координаттар жиынтығы xk үшін dx дифференциалдары p нүктесіндегі котангенттік кеңістіктің базисін құрайды.
Тензорлық бундель
Тензорлық жиын – тангенталық жиын мен котангенталық жиынның барлық тензорлық көбейтінділерінің тікелей қосындысы. Жиынның әрбір элементі тензорлық өріс болып табылады, ол векторлық өрістерде немесе басқа тензорлық өрістерде көпсызықты оператор ретінде әрекет ете алады. Тензорлық жиын дәстүрлі мағынада дифференциалданатын көптік емес, себебі ол шексіз өлшемді. Дегенмен, ол скалярлық функциялар сақинасының алгебрасы болып табылады. Әрбір тензор оның қанша тангенталық және котангенталық факторлары бар екенін көрсететін рангтарымен сипатталады. Кейде осы рангтар ковариантты және контравариантты рангтар деп аталады, сәйкесінше тангенталық және котангенталық рангтарды білдіреді.
Рамалық буып
Фрейм (немесе, дәлірек айтқанда, тангенстік фрейм) – белгілі бір тангенстік кеңістіктің реттелген базисі. Сол сияқты, тангенстік фрейм – Rn-нің осы тангенстік кеңістікке сызықтық изоморфизмі. Қозғалыстағы тангенстік фрейм – өзінің доменінің кез келген нүктесінде базис беретін векторлық өрістердің реттелген тізімі. Қозғалыстағы фреймді кадр шоғыры F(M) бөлігі ретінде қарастыруға болады, ол M-дегі барлық фреймдер жиынтығынан құралған GL(n, R) бас тобы. Кадр шоғыры пайдалы, себебі M-дегі тензорлық өрістерді F(M)-дегі эквивариантты векторлық функциялар ретінде қарастыруға болады.
Жеттік бумалар
Жеткілікті тегіс коллекторда әр түрлі реактивті шоғырлар қарастырылуы мүмкін. Коллектордың (бірінші реттік) тангенс шоғыры – бірінші реттік жанасудың эквиваленттілік қатынасы бойынша коллектордағы қисықтардың жиынтығы. Салыстыру бойынша, k-шы реттік тангенс шоғыры – қисықтардың жиынтығы, k-шы реттік жанасу қатынасы бойынша. Сол сияқты, котангенс шоғыры – коллектордағы функциялардың 1-ші реактивтерінің шоғыры: k-шы реактив шоғыры – олардың k-шы реактивтерінің шоғыры. Бұл және реактив шоғырларының басқа да мысалдары дифференциалдық операторларды зерттеуде маңызды рөл атқарады. Фрейм ұғымы жоғары реттік реактивтерге де жалпыланады. k-шы реттік фреймді Rn-нен M-ге дейінгі диффеоморфизмнің k-шы реактиві деп анықтаймыз. Барлық k-шы реттік фреймдердің жиынтығы, Fk(M), M-дегі негізгі Gk шоғыры болып табылады, мұнда Gk – k-шы реттік топ; яғни, бастапқы нүктені бекітетін Rn-нің диффеоморфизмдерінің k-шы реактивтерінен тұратын топ. GL(n, R) табиғи түрде G1-ге изоморфты екенін және k ≥ 2 кез келген Gk-ның кіші тобы екенін ескеріңіз. Атап айтқанда, F2(M) қимасы M-дегі байланыстың кадрлық компоненттерін береді. Осылайша, F2(M) / GL(n, R) үлестік шоғыры M-дегі симметриялық сызықтық байланыстардың шоғыры болып табылады.
Манифолдтар бойынша есептеу
Көп айнымалы есептеудің көптеген әдістері де, мутатис мутандис, дифференциалданатын көптүрлiлiктерге қолданылады. Мысалы, дифференциалданатын функцияның бағыттағы туындысын көптүрлiлiкке қатысты жанама вектор бойынша анықтауға болады, және бұл функцияның жалпы туындысын кеңейтуге мүмкіндік береді: дифференциал. Есептеу тұрғысынан алғанда, көптүрлiлiктегі функцияның туындысы Евклид кеңістігінде анықталған функцияның обычай туындысы сияқты, кем дегенде жергілікті түрде мінез-құлық көрсетеді. Мысалы, мұндай функциялар үшін имплицитті және кері функция теоремаларының нұсқалары бар. Дегенмен, векторлық өрістердің (және жалпы тензорлық өрістердің) есептеуінде маңызды айырмашылықтар бар. Қысқасы, векторлық өрістің бағыттық туындысы жақсы анықталмаған, немесе кем дегенде тікелей анықталмайды. Векторлық өрістің (немесе тензорлық өрістің) туындысын кеңейтудің бірнеше жолы бар, олар Евклид кеңістіктеріндегі дифференциацияның белгілі бір формальды ерекшеліктерін қамтиды. Олардың ішіндегі бастылары: Ли туындысы, ол дифференциалдық құрылыммен бірегей түрде анықталады, бірақ бағыттық дифференциацияның кейбір қалыпты ерекшеліктерін қанағаттандырмайды. Аффиналық байланыс, ол бірегей емес, бірақ қарапайым бағыттық дифференциацияның ерекшеліктерін толығырақ кеңейтеді. Аффиналық байланыс бірегей болмағандықтан, ол көптүрлiлiкте нақтылануы тиіс қосымша дерек болып табылады. Интегралды есептеуден алынған идеялар да дифференциалдық көптүрлiлiктерге көшеді. Бұл табиғи түрде сыртқы есептеу және дифференциалдық формалар тілінде беріледі. Көп айнымалы интегралды есептеудің негізгі теоремалары – яғни Грин теоремасы, дивергенция теоремасы және Стокс теоремасы – сыртқы туынды мен субкөптүрлiлiктегі интегралды байланыстыратын теоремаға (сонымен қатар Стокс теоремасы деп аталады) кеңейтіледі.
The Lie derivative, which is uniquely defined by the differential structure, but fails to satisfy some of the usual features of directional differentiation. An affine connection, which is not uniquely defined, but generalizes in a more complete manner the features of ordinary directional differentiation. Because an affine connection is not unique, it is an additional piece of data that must be specified on the manifold. Ideas from integral calculus also carry over to differential manifolds. These are naturally expressed in the language of exterior calculus and differential forms. The fundamental theorems of integral calculus in several variables—namely Green's theorem, the divergence theorem, and Stokes' theorem—generalize to a theorem (also called Stokes' theorem) relating the exterior derivative and integration over submanifolds.
Функциялардың дифференциалдық есебі
Екі көптүрлілік арасындағы дифференциалданатын функциялар субкөптүрліліктер және басқа да байланысты ұғымдардың тиісті түсініктерін қалыптастыру үшін қажет. Егер f: M → N – m өлшемді дифференциалданатын көптүрліліктен n өлшемді N дифференциалданатын көптүрлілігіне дифференциалданатын функция болса, онда f дифференциалы df: TM → TN бейнелеуі болып табылады. Ол Tf деп те аталады және жанама бейнелеу деп аталады. M-нің әрбір нүктесінде бұл бір жанама кеңістіктен екіншісіне сызықтық түрлендіру: f-дің рангі p нүктесінде осы сызықтық түрлендірудің рангіне тең. Әдетте функцияның рангі нүктелік қасиет болып табылады. Алайда, егер функцияның максималды рангі болса, онда ранг нүктеге жақын аймақта тұрақты болады. Дифференциалданатын функция "әдетте" максималды рангке ие, бұл дәл Сард теоремасымен берілген мағынада. Бір нүктеде максималды рангі бар функциялар батырулар және субординациялар деп аталады: Егер m ≤ n және f: M → N p ∈ M нүктесінде m рангіне ие болса, онда f p нүктесінде батыру деп аталады. Егер f M-нің барлық нүктелерінде батыру болса және оның бейнесіне гомеоморфизм болса, онда f – енгізу. Енгізулер M-нің N-нің субкөптүрлілігі болуы туралы ұғымды формалдайды. Жалпы, енгізу – бұл өзіндік қиылыстарсыз және басқа да жергілікті емес топологиялық бұрмалауларсыз шоғырлану. Егер m ≥ n және f: M → N p ∈ M нүктесінде n рангіне ие болса, онда f p нүктесінде субординация деп аталады. Имплицитті функция теоремасы бойынша, егер f p нүктесінде субординация болса, онда M p-ге жақын N және Rm−n көбейтіндісі болып табылады. Формальды түрде, N-де f(p) маңында (y1, …, yn) координаттары және M-де p маңында x1, …, xm−n анықталған m − n функциялары бар, бұл p маңында M-нің жергілікті координаттары жүйесін құрайды. Субординациялар фибрациялар және талшықтық бундельдер теориясының негізін құрайды.
The rank of f at p is the rank of this linear transformation. Usually the rank of a function is a pointwise property. However, if the function has maximal rank, then the rank will remain constant in a neighborhood of a point. A differentiable function "usually" has maximal rank, in a precise sense given by Sard's theorem. Functions of maximal rank at a point are called immersions and submersions:
If m ≤ n, and f : M → N has rank m at p ∈ M, then f is called an immersion at p. If f is an immersion at all points of M and is a homeomorphism onto its image, then f is an embedding. Embeddings formalize the notion of M being a submanifold of N. In general, an embedding is an immersion without self intersections and other sorts of non local topological irregularities. If m ≥ n, and f : M → N has rank n at p ∈ M, then f is called a submersion at p. The implicit function theorem states that if f is a submersion at p, then M is locally a product of N and Rm−n near p. In formal terms, there exist coordinates (y1, , yn) in a neighborhood of f(p) in N, and m − n functions x1, , xm−n defined in a neighborhood of p in M such that is a system of local coordinates of M in a neighborhood of p. Submersions form the foundation of the theory of fibrations and fibre bundles.
Лидің туындысы
Ли дериваты, Софус Ли есімімен аталған, көпқырлы M-дегі тензорлық өрістер алгебрасы бойынша туынды. M-дегі барлық Ли дериваттарының векторлық кеңістігі, берілген Ли скобкасына қатысты, шексіз өлшемді Ли алгебрасын құрайды. Ли дериваттары M-дегі ағындардың (белсенді дифеоморфизмдердің) инфинитезималды генераторлары ретінде векторлық өрістермен өрнектеледі. Керісінше қарағанда, M-нің дифеоморфизмдер тобы, Ли теориясына тікелей аналогты түрде, Ли дериваттарының байланысты Ли алгебрасы құрылымына ие.
The Lie derivatives are represented by vector fields, as infinitesimal generators of flows (active diffeomorphisms) on M. Looking at it the other way around, the group of diffeomorphisms of M has the associated Lie algebra structure, of Lie derivatives, in a way directly analogous to the Lie group theory.
Сыртқы сан
Сыртқы есептеу градиент, дивергенция және ротор операторларын жалпылауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық формалар жиынтығының әрбір нүктесінде сол нүктедегі жанама кеңістіктегі толық антисимметриялық көпсызықтық функциялардың барлығынан тұрады. Ол табиғи түрде көпбұрыштың өлшеміне тең немесе одан кем әр n үшін n формаға бөлінеді; n формасы – n айнымалы форма, сондай-ақ n дәрежелі форма деп аталады. 1 формалар – котангенс векторлар, ал 0 формалар – скалярлық функциялар. Жалпы, n формасы – n котангенс және 0 жанама дәрежелі тензор. Бірақ әр тензор форма бола бермейді, өйткені форма антисимметриялы болуы тиіс.
Жіктеу
Әрбір бір өлшемді байланысқан тегіс көпқабатты олардың стандартты тегіс құрылымдары бар екеуіне де немесе екеуіне де диффеоморфты. 2 өлшемді тегіс коллекторларды жіктеу үшін, бетке қараңыз. Нақты нәтиже - әрбір екі өлшемді байланысқан тығыз тегіс көпқабатты келесілердің біріне диффеоморфты: немесе немесе . Егер тегіс құрылымның орнына күрделі дифференциалдық құрылымды қарастырсақ, жағдай одан да қиын. Үш өлшемдегі жағдай әлдеқайда күрделі, ал белгілі нәтижелер тура емес. 2002 жылы бөлшектік дифференциалдық теңдеулер әдістерімен дәлелденген ерекше нәтиже - геометриялық гипотеза, ол кез келген тығыз тегіс 3 көпқабатты әртүрлі бөліктерге бөлінуі мүмкін екенін, олардың әрқайсысы көптеген симметрияларға ие Риманн метрикаларын қабылдайды. Геометризацияланатын 3 көпқабаттар үшін әр түрлі "танысу нәтижелері" де бар, мысалы Мостовтың қатаңдығы және гиперболалық топтар үшін изоморфизм мәселесі үшін Селаның алгоритмі. Үштен үлкен n үшін n көпқабаттарды жіктеу тіпті гомотопиялық эквиваленттілікке дейін мүмкін емес екені белгілі. Кез келген шекті ұсынылған топ берілген жағдайда, сол топты негізгі топ ретінде қолдана отырып, 4 жабық көпқабатты құрастыруға болады. Ақырғы ұсынылған топтар үшін изоморфизм мәселесін шешуге алгоритм болмағандықтан, екі 4 көпқабаттың бірдей негізгі тобы бар ма, жоқ па, шешуге алгоритм жоқ. Бұрын сипатталған құрылыс 4 көпқабаттар класына әкеледі, олар гомеоморфты, тек және ғана олардың топтары изоморфты болса, сондықтан 4 көпқабаттар үшін гомеоморфизм мәселесі шешілмейді. Сонымен қатар, тривиальды топты тану да шешілмейтіндіктен, көпқабаттың тривиальды негізгі тобы бар ма, яғни жай ғана байланысқан ма, жалпы жағдайда шешу мүмкін емес. Фридман қиылысу формасы мен Кирби–Сибенман инвариантын пайдаланып, гомеоморфизмге дейін жай байланысқан 4 көпқабаттар жіктелді. 4 өлшемді тегіс коллекторлар теориясы R4-тегі экзотикалық тегіс құрылымдар көрсеткендей, әлдеқайда күрделі екені белгілі. Алайда, жағдай 5 өлшемді тек қана байланысқан тегіс көпқабаттар үшін оңайырақ, онда h-кобордизм теоремасын классификацияны гомотопиялық эквиваленттілікке дейін азайту үшін пайдалануға болады және хирургиялық теорияны қолдануға болады. Бұл Денис Барденнің 5 жай байланысқан коллекторларын нақты жіктеу үшін жүзеге асырылды.
(Псевдо-) Риманның көптігі
Римандық көптік – әрбір тангенттік кеңістікте оң анықталған ішкі көбейтіндісі бар тегіс көптік. Бұл ішкі көбейтінділер жиынтығы Риман метрикасы деп аталады және табиғи түрде симметриялық 2-тензорлық өріс болып табылады. Бұл "метрика" әрбір нүктеде векторлық кеңістіктің табиғи изоморфизмін анықтайды. Римандық көптіктерде ұзындық, көлем және бұрыш ұғымдарын анықтауға болады. Кез келген тегіс көптікке әртүрлі Риман метрикаларын беруге болады. Псевдо-Римандық көптік – ішкі көбейтінділер оң анықталғаннан гөрі белгісіз қолтаңбаға ие болуына рұқсат етілген Римандық көптік ұғымының жалпылануы; олар дегенерацияға ұшырамауы керек. Кез келген тегіс псевдо-Римандық және Римандық көптіктер Риман қисықтық тензоры сияқты байланысты тензорлық өрістердің бірнешеуін анықтайды. (3, 1) қолтаңбасы бар псевдо-Римандық көптіктер жалпы салыстырмалылық теориясындағы негізгі болып табылады. Кез келген тегіс көптікке (римандық емес) псевдо-Римандық құрылым беруге болмайды; мұндай құрылымды жасау үшін топологиялық шектеулер бар. Псевдо-Римандық көптіктерге қатысты терминология авторға байланысты өзгереді, ал Лоренц немесе жартылай Римандық сияқты баламалы терминдерді ескермесе, осы тақырыптағы әдебиеттің үлкен бөлігіне қол жеткізбеуі мүмкін. Финслер көптігі – Римандық көптіктің басқа бір жалпылануы, онда ішкі көбейтінді векторлық нормамен ауыстырылады; осылайша, бұл ұзындықты анықтауға мүмкіндік береді, бірақ бұрышты емес.
Лей топтары
Ли тобы – C∞ көптүрлілік және оның үстінде анықталған топ құрылымынан тұрады, мұнда көбейту және инверсия операциялары көптүрліліктердің тегіс бейнелеулері болып табылады. Бұл объектілер (үздіріссіз) симметрияларды сипаттауда жиі кездеседі және тегіс көптүрліліктердің маңызды мысалдарының көзі болып табылады. Дегенмен, тегіс көптүрліліктердің көптеген белгілі мысалдарына Ли тобы құрылымын беру мүмкін емес, себебі берілген Ли тобы және кез келген үшін, сәйкестік элементін жіберуші бейнелеуді қарастыруға болады, соның салдарынан дифференциалды қарастыру арқылы Ли тобының кез келген екі жанама кеңістігі арасында табиғи сәйкестік орнатылады. Атап айтқанда, кез келген нөлдік емес векторды қарастыру арқылы осы сәйкестіктерді пайдаланып, тегіс, нөлдік емес векторлық өріс құруға болады. Мысалы, бұл ешбір жұп өлшемді сфера Ли тобы құрылымын қабылдамайтынын көрсетеді. Осы аргументтен, жалпы алғанда, кез келген Ли тобы параллельдендірілуге тиіс екені шығады.
Псевдотоптар
Псевдогруппа түсінігі, көптүрліліктерде әртүрлі құрылымдарды біркелкі түрде анықтауға мүмкіндік беру үшін атластардың икемді жалпыламасын ұсынады. Псевдогруппа S топологиялық кеңістігінен және S-тің басқа ашық ішкі жиындарына гомеоморфизмдерден тұратын Γ жиынынан тұрады, мұнда егер f ∈ Γ және U, f доменінің ашық ішкі жиыны болса, онда f|U шектеуі де Γ-да болады. Егер f, S-тің ашық ішкі жиындарының бірінен S-тің ашық ішкі жиынына гомеоморфизм болса, онда f ∈ Γ, барлық i үшін орындалады. Кез келген ашық U ⊂ S үшін, U-ның сәйкестік түрленуі Γ-да болады. Егер f ∈ Γ болса, онда f−1 ∈ Γ. Γ-ның екі элементінің композициясы Γ-да болады. Соңғы үш шарт топтың анықтамасына ұқсас. Алайда, Γ міндетті түрде топ болуы қажет емес, себебі функциялар S-де жағдайы бойынша ғана анықталған. Мысалы, Rn-дегі барлық жергілікті Ck диффеоморфизмдерінің жиыны псевдогруппа құрайды. Cn-дегі ашық жиындар арасындағы барлық биголоморфизмдер псевдогруппа құрайды. Басқа мысалдар: Rn карталарын бағытталды сақтайтын түрлендірулер, симплектоморфизмдер, Мёбиус түрлендірулері, аффиндік түрлендірулер және т.б. Осылайша, әртүрлі функциялық кластар псевдогруппаларды анықтайды. (Ui, φi) атласы, мұнда φi гомеоморфизмдері Ui ⊂ M-ден топологиялық кеңістіктің ашық ішкі жиындарына дейін, егер φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) ауысу функцияларының барлығы Γ-да болса, онда ол псевдогруппа Γ-мен үйлесімді деп есептеледі. Дифференциалданатын көптік, Rn-дегі Ck функцияларының псевдогруппасымен үйлесімді атлас болып табылады. Кешенді көптік, Cn-дегі ашық жиындардағы биголоморфтық функцияларға сәйкес келетін атлас болып табылады. және т.б. Осылайша, псевдогруппалар дифференциалдық геометрия мен топология үшін маңызды көптіктердегі көптеген құрылымдарды сипаттауға арналған біртұтас аяққа ұшырайды.
If f ∈ Γ, and U is an open subset of the domain of f, then the restriction f|U is also in Γ. If f is a homeomorphism from a union of open subsets of S, , to an open subset of S, then f ∈ Γ provided for every i. For every open U ⊂ S, the identity transformation of U is in Γ. If f ∈ Γ, then f−1 ∈ Γ. The composition of two elements of Γ is in Γ. These last three conditions are analogous to the definition of a group. Note that Γ need not be a group, however, since the functions are not globally defined on S. For example, the collection of all local Ck diffeomorphisms on Rn form a pseudogroup. All biholomorphisms between open sets in Cn form a pseudogroup. More examples include: orientation preserving maps of Rn, symplectomorphisms, Möbius transformations, affine transformations, and so on. Thus, a wide variety of function classes determine pseudogroups. An atlas (Ui, φi) of homeomorphisms φi from Ui ⊂ M to open subsets of a topological space S is said to be compatible with a pseudogroup Γ provided that the transition functions φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) are all in Γ. A differentiable manifold is then an atlas compatible with the pseudogroup of Ck functions on Rn. A complex manifold is an atlas compatible with the biholomorphic functions on open sets in Cn. And so forth. Thus, pseudogroups provide a single framework in which to describe many structures on manifolds of importance to differential geometry and topology.
Құрылымдық қап
Кейде, Ck құрылымын көпқабатқа беру үшін баламалы тәсілді қолдану пайдалы болуы мүмкін. Мұнда k = 1, 2, ..., ∞ немесе нақты аналитикалық көптүрлілік үшін ω. Координаталық диаграммаларды қарастырудың орнына, көпқабаттың өзінде анықталған функциялардан бастауға болады. M-нің Ck деп белгіленетін құрылымдық шоғыры, әрбір ашық жиын үшін U ⊂ M, үздіксіз функциялар алгебрасы Ck(U) анықтайтын функтордың бір түрі. Ck құрылымдық шоғыры M-ге n өлшемді Ck көптүрлілігінің құрылымын береді, егер кез келген p ∈ M үшін p нүктесіне жақын U аймағы және n функциясы x1, ..., xn ∈ Ck(U) болса, онда 1 = f = (x1, ..., xn) : U → Rn картасы Rn-дегі ашық жиынға гомеоморфизм болып табылады, және Ck|U, Rn-дегі k рет үздіксіз дифференциалданатын функциялар шоғырының кері тартылуы болып табылады. Атап айтқанда, соңғы шарт бойынша Ck(V) жиынындағы кез келген h функциясы V үшін 1 = h(x) = H(x1(x), ..., xn(x)) түрінде бірегей түрде жазылуы мүмкін, мұнда H, f(V) (Rn-дегі ашық жиын) бойынша k рет дифференциалданатын функция. Осылайша, шоғырлық теориялық тұрғыдан қарағанда, дифференциалданатын көптүрліліктегі функцияларды жергілікті координаттарда Rn-дегі дифференциалданатын функциялар ретінде көрсетуге болады, және бұл көптүрліліктің дифференциалдық құрылымын сипаттау үшін жеткілікті.
Коммутативті емес геометрия
Ck көптігі M үшін, көптіктегі нақты мәнді Ck функцияларының жиыны нүктелік қосу және көбейту арқылы алгебра құрайды, бұл скалярлық өрістер алгебрасы немесе жай ғана скалярлар алгебрасы деп аталады. Бұл алгебрада тұрақты функция 1 көбейтулік бірлік ретінде табылады және алгебралық геометриядағы тұрақты функциялар сақинасының дифференциалдық аналогы болып табылады. Көптікті оның скалярлар алгебрасынан қайта құруға болады, ең алдымен жиын ретінде, сондай-ақ топологиялық кеңістік ретінде – бұл Банах-Стоун теоремасының қолданылуы және формальды түрде C* алгебрасының спектрі ретінде белгілі. Біріншіден, M нүктелері мен алгебралық гомоморфизмдер φ: Ck(M) → R арасында бір-бірге сәйкестік бар, себебі мұндай гомоморфизм φ, Ck(M) ішіндегі кодименсиясы бір идеалға (яғни φ ядросына) сәйкес келеді, ол міндетті түрде максималды идеал болып табылады. Керісінше, осы алгебрадағы әрбір максималды идеал – бұл бір нүктеде нөлге тең болатын функциялардың идеалы, бұл Ck(M) -нің MSpec (Max Spec) M-ді нүктелер жиыны ретінде қалпына келтіретінін көрсетеді, бірақ шындығында ол M-ді топологиялық кеңістік ретінде қалпына келтіреді. Скалярлар алгебрасы тұрғысынан әр түрлі геометриялық құрылымдарды алгебралық түрде анықтауға болады, және бұл анықтамалар көбінесе алгебралық геометрияға (сақиналарды геометриялық тұрғыдан түсіндіру) және операторлар теориясына (Банах кеңістіктерін геометриялық тұрғыдан түсіндіру) жалпыланады. Мысалы, M-ге жанасатын бундельді M-дегі тегіс функциялар алгебрасының туындылары деп анықтауға болады.
Осы "алгебралау" (геометриялық объектіні алгебрамен алмастыру) көптігі C* алгебрасы түсінігіне әкеледі – коммутативті C* алгебрасы Банах-Стоун бойынша көптіктің скалярлар сақинасы болып табылады, және коммутативті емес C* алгебраларын көптіктің коммутативті емес жалпыламалары ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Бұл коммутативті емес геометрия саласының негізі болып табылады.