Введение

Многообразие, на котором можно выполнять дифференциальное исчисление.

В математике дифференцируемое многообразие (также называемое дифференциальным многообразием) — это тип многообразия, локально достаточно близкий к векторному пространству, чтобы позволить применять дифференциальное исчисление. Любое многообразие может быть описано с помощью коллекции карт (атласа). Затем можно применять идеи дифференциального исчисления при работе в пределах отдельных карт, поскольку каждая карта лежит в векторном пространстве, к которому применимы обычные правила дифференциального исчисления. Если карты согласованы подходящим образом (а именно, переход от одной карты к другой является дифференцируемым), то вычисления, выполненные в одной карте, остаются справедливыми в любой другой дифференцируемой карте. В формальном выражении, дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие с глобально определенной дифференциальной структурой. Любому топологическому многообразию можно локально задать дифференциальную структуру, используя гомеоморфизмы в его атласе и стандартную дифференциальную структуру на векторном пространстве. Чтобы индуцировать глобальную дифференциальную структуру на локальных координатных системах, задаваемых гомеоморфизмами, их композиции на пересечениях карт в атласе должны быть дифференцируемыми функциями на соответствующем векторном пространстве. Иными словами, там, где области карт перекрываются, координаты, определяемые каждой картой, должны быть дифференцируемыми относительно координат, определяемых каждой картой в атласе. Отображения, связывающие координаты, определяемые различными картами, называются переходами координат. Возможность определить такую локальную дифференциальную структуру на абстрактном пространстве позволяет расширить определение дифференцируемости на пространства без глобальных систем координат. Локальная дифференциальная структура позволяет определить глобально дифференцируемое тангентное пространство, дифференцируемые функции, дифференцируемые тензорные и векторные поля. Дифференцируемые многообразия играют важную роль в физике. Особые виды дифференцируемых многообразий лежат в основе физических теорий, таких как классическая механика, общая теория относительности и теория Янга — Миллса. Возможно разработать дифференциальное исчисление для дифференцируемых многообразий, что приводит к такому математическому аппарату, как внешний анализ. Изучение дифференциального исчисления на дифференцируемых многообразиях известно как дифференциальная геометрия. "Дифференцируемость" многообразия имеет несколько значений, включая: непрерывно дифференцируемое, дифференцируемое k раз, гладкое (которое само по себе имеет множество значений) и аналитическое.

История

Появление дифференциальной геометрии как самостоятельной дисциплины обычно связывают с Карлом Фридрихом Гауссом и Бернардом Риманом. Риман впервые описал многообразия в своей знаменитой хабилитационной лекции перед факультетом Геттингенского университета. Он обосновал идею многообразия интуитивным процессом варьирования заданного объекта в новом направлении и прозорливо описал роль систем координат и карт в последующих формальных построениях:

«Построив понятие n-мерного многообразия и обнаружив, что его истинная характеристика заключается в том, что определение положения в нем может быть сведено к n определениям величины, – Б. Риман»

Работы физиков, таких как Джеймс Клерк Максвелл, и математиков Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита привели к развитию тензорного анализа и понятия ковариантности, которое определяет внутреннее геометрическое свойство как то, что инвариантно относительно преобразований координат. Эти идеи нашли ключевое применение в теории относительности Альберта Эйнштейна и лежащем в ее основе принципе эквивалентности. Современное определение двумерного многообразия было дано Германом Вейлем в его книге 1913 года о римановых поверхностях. Широко признанное общее определение многообразия в терминах атласа принадлежит Хасслеру Уитни.

Атласы

Пусть M – топологическое пространство. Атлас (U, φ) на M состоит из открытого подмножества U в M и гомеоморфизма φ из U в открытое подмножество некоторого евклидова пространства Rⁿ. Несколько неформально можно ссылаться на атлас как φ : U → Rⁿ, подразумевая, что образ φ является открытым подмножеством Rⁿ и что φ является гомеоморфизмом на свой образ; в работах некоторых авторов это может означать, что φ : U → Rⁿ само по себе является гомеоморфизмом. Наличие атласа предполагает возможность проведения дифференциального исчисления на M; например, если задана функция u : M → R и атлас (U, φ) на M, можно рассмотреть композицию u ∘ φ⁻¹, которая является функцией с действительными значениями, областью определения которой является открытое подмножество евклидова пространства; таким образом, если она дифференцируема, можно рассмотреть ее частные производные. Эта ситуация не вполне удовлетворительна по следующей причине. Рассмотрим второй атлас (V, ψ) на M и предположим, что U и V имеют общие точки. Две соответствующие функции u ∘ φ⁻¹ и u ∘ ψ⁻¹ связаны между собой тем, что их можно перепараметризовать друг в друга:

естественной областью определения правой части является φ(U ∩ V). Поскольку φ и ψ являются гомеоморфизмами, следует, что ψ ∘ φ⁻¹ является гомеоморфизмом из φ(U ∩ V) в ψ(U ∩ V). Следовательно, это лишь бинепрерывное отображение, и даже если обе функции u ∘ φ⁻¹ и u ∘ ψ⁻¹ дифференцируемы, их дифференциальные свойства не обязательно будут тесно связаны друг с другом, поскольку ψ ∘ φ⁻¹ не гарантированно достаточно гладко для вычисления частных производных левой части, применяя правило цепочки к правой части. Та же проблема возникает, если вместо этого рассматривать функции c : Rⁿ → M; это приводит к формуле перепараметризации,

в которой можно сделать то же самое наблюдение, что и раньше. Это разрешается введением "дифференцируемого атласа" атласов, который задает набор атласов на M, для которых переходные отображения ψ ∘ φ⁻¹ все дифференцируемы. Это делает ситуацию достаточно ясной: если u ∘ φ⁻¹ дифференцируема, то, благодаря первой упомянутой выше формуле перепараметризации, отображение u ∘ ψ⁻¹ также дифференцируемо в области ψ(U ∩ V), и наоборот. Более того, производные этих двух отображений связаны друг с другом правилом цепочки. Относительно данного атласа это облегчает понятие дифференцируемых отображений, область определения или область значений которых является M, а также понятие производной таких отображений. Формально слово "дифференцируемый" несколько неоднозначно, поскольку разные авторы вкладывают в него разные значения: иногда это означает существование первых производных, иногда существование непрерывных первых производных, а иногда существование бесконечного числа производных. Ниже приводится формальное определение различных (неоднозначных) значений "дифференцируемого атласа". Обычно "дифференцируемый" используется как общий термин, включающий все эти возможности, при условии, что k ≥ 1. Для топологического пространства M Cᵏ-атлас – это набор атласов {φα : Uα → Rⁿ}α∈A, такой что {Uα}α∈A покрывает M и для всех α и β в A переходное отображение является [[Smoothness map a smooth or C∞ атлас {φα : Uα → Rⁿ}α∈A гладкий атлас аналитический или Cω атлас {φα : Uα → Rⁿ}α∈A аналитический атлас голоморфный атлас {φα : Uα → Cⁿ}α∈A голоморфный атлас Поскольку каждое вещественно-аналитическое отображение гладкое, а каждое гладкое отображение является Cᵏ для любого k, можно видеть, что любой аналитический атлас также можно рассматривать как гладкий атлас, а любой гладкий атлас можно рассматривать как Cᵏ-атлас. Эту цепочку можно расширить, включив голоморфные атласы, при условии, что любое голоморфное отображение между открытыми подмножествами Cⁿ можно рассматривать как вещественно-аналитическое отображение между открытыми подмножествами R²ⁿ. Если задан дифференцируемый атлас на топологическом пространстве, то говорят, что атлас дифференцируемо совместим с атласом или дифференцируем относительно данного атласа, если включение атласа в набор атласов, составляющих данный дифференцируемый атлас, приводит к дифференцируемому атласу. Дифференцируемый атлас определяет максимальный дифференцируемый атлас, состоящий из всех атласов, которые дифференцируемо совместимы с данным атласом. Максимальный атлас всегда очень велик. Например, для любого атласа в максимальном атласе его ограничение на произвольное открытое подмножество его области определения также будет содержаться в максимальном атласе. Максимальный гладкий атлас также известен как гладкая структура; максимальный голоморфный атлас также известен как комплексная структура. Альтернативное, но эквивалентное определение, избегающее прямого использования максимальных атласов, состоит в рассмотрении классов эквивалентности дифференцируемых атласов, в которых два дифференцируемых атласа считаются эквивалентными, если каждый атлас одного атласа дифференцируемо совместим с другим атласом. Неформально это означает, что при работе с гладким многообразием можно работать с одним дифференцируемым атласом, состоящим всего из нескольких атласов, с подразумеваемым пониманием, что многие другие атласы и дифференцируемые атласы также равноправны. Согласно инвариантности области, каждая связная компонента топологического пространства, имеющего дифференцируемый атлас, имеет хорошо определенную размерность n. Это вызывает небольшую неоднозначность в случае голоморфного атласа, поскольку соответствующая размерность будет вдвое меньше значения ее размерности, если рассматривать ее как аналитический, гладкий или Cᵏ-атлас. По этой причине отдельно говорят о "вещественной" и "комплексной" размерности топологического пространства с голоморфным атласом.

Манифолы

Дифференцируемое многообразие — это хаусдорфово и второ счётное топологическое пространство M вместе с максимальным дифференцируемым атласом на M. Значительная часть базовой теории может быть разработана без необходимости в условиях хаусдорфовости и второй счётности, хотя они необходимы для большей части продвинутой теории. Они по существу эквивалентны общему существованию гладких функций с компактным носителем и разбиений единицы, которые широко используются. Понятие C^(0)-многообразия совпадает с понятием топологического многообразия. Однако следует отметить важное различие. Для заданного топологического пространства имеет смысл спрашивать, является ли оно топологическим многообразием. В отличие от этого, не имеет смысла спрашивать, является ли данное топологическое пространство (например) гладким многообразием, поскольку понятие гладкого многообразия требует указания гладкого атласа, который представляет собой дополнительную структуру. Тем не менее, может быть уместно сказать, что определённому топологическому пространству нельзя придать структуру гладкого многообразия. Можно переформулировать определения, чтобы избежать такого дисбаланса: можно начать с множества M (а не с топологического пространства M), используя естественный аналог гладкого атласа в данной ситуации для определения структуры топологического пространства на M.

Соединяем евклидовые части для формирования многообразия

Можно реконструировать вышеуказанные определения, чтобы получить один из взглядов на построение многообразий. Идея заключается в том, чтобы начать с образов атласов и карт перехода и построить многообразие исключительно на основе этих данных. Как и в предыдущем обсуждении, мы используем "гладкий" контекст, но все работает аналогично и в других случаях. Пусть задано индексирующее множество, и пусть – это семейство открытых подмножеств , а для каждого – открытое (возможно, пустое) подмножество , и – гладкое отображение. Предположим, что является тождественным отображением, является тождественным отображением, и является тождественным отображением. Тогда определим отношение эквивалентности на дизъюнктном объединении , объявив эквивалентным . При некоторой технической работе можно показать, что множество классов эквивалентности естественным образом допускает топологическую структуру, а атласы, используемые при этом, образуют гладкий атлас. Для сведения аналитических структур (подмножеств) вместе см. аналитические многообразия.

Дифференцируемые функции

Действительная функция f на n-мерном дифференцируемом многообразии M называется дифференцируемой в точке p ∈ M, если она дифференцируема в любой координатной окрестности, определенной в окрестности точки p. Более точно, если (U, φ) – дифференцируемая координатная окрестность, где U – открытое множество в Rⁿ, содержащее p, а φ – отображение, определяющее эту окрестность, то f дифференцируема в p тогда и только тогда, когда композиция f∘φ⁻¹ дифференцируема в φ(p), то есть является дифференцируемой функцией из открытого множества φ(U), рассматриваемого как подмножество Rⁿ, в R. В общем случае существует множество различных координатных окрестностей; однако, определение дифференцируемости не зависит от выбора окрестности в p. Из правила дифференцирования сложной функции, примененного к переходам между различными координантными окрестностями, следует, что если f дифференцируема в какой-либо конкретной окрестности в p, то она дифференцируема во всех окрестностях в p. Аналогичные рассуждения применимы к определению функций класса Ck, гладких функций и аналитических функций.

Дифференциация функций

Существуют различные способы определения производной функции на дифференцируемом многообразии, наиболее фундаментальным из которых является направленная производная. Определение направленной производной усложняется тем, что многообразие лишено подходящей аффинной структуры, необходимой для определения векторов. Поэтому направленная производная рассматривает кривые на многообразии, а не векторы.

Дифференцируемость соотношений между коллекторами

Предположим, что M и N – два дифференцируемых многообразия размерностей m и n соответственно, и f – функция с M на N. Поскольку дифференцируемые многообразия являются топологическими пространствами, мы знаем, что значит, чтобы f была непрерывной. Но что означает "f является Ck(M, N)" для k ≥ 1? Мы знаем, что это означает, когда f – функция между евклидовыми пространствами, поэтому, если мы композируем f с атласом M и атласом N так, чтобы получить отображение из евклидова пространства в M, затем в N и, наконец, в евклидово пространство, мы знаем, что значит, чтобы это отображение было Ck(Rm, Rn). Мы определяем "f является Ck(M, N)" как то, что все такие композиции f с атласами являются Ck(Rm, Rn). Вновь, правило дифференцирования (или правило цепи) гарантирует, что понятие дифференцируемости не зависит от выбора атласов на M и N. Однако определение самой производной – задача более тонкая. Если M или N сами по себе уже являются евклидовым пространством, то нам не нужен атлас для отображения их в евклидово пространство.

Тангентная пучка

Тангентное пространство в точке состоит из всех возможных направленных производных в этой точке и имеет ту же размерность n, что и многообразие. Для некоторого множества (невырожденных) координат xk, локальных в этой точке, производные координат образуют голономический базис тангентного пространства. Коллекция тангентных пространств во всех точках, в свою очередь, может быть превращена в многообразие – тангентный расслоение, размерность которого равна 2n. Тангентный расслоение является пространством, в котором лежат тангенциальные векторы, и само по себе является дифференцируемым многообразием. Лагранжиан – это функция на тангентном расслоении. Также можно определить тангентный расслоение как расслоение 1-струй из R (действительной прямой) в M.

Можно построить атлас для тангентного расслоения, состоящий из карт, основанных на Uα × Rn, где Uα обозначает одну из карт в атласе для M. Каждая из этих новых карт является тангентным расслоением для карт Uα. Переходные отображения на этом атласе определяются из переходных отображений на исходном многообразии и сохраняют исходный класс гладкости.

Сопутствующий пакет

Двойственное пространство векторного пространства — это множество линейных функционалов на этом векторном пространстве, принимающих действительные значения. Котангентное пространство в точке является дуальным к тангентному пространству в этой точке, а его элементы называются котангентными векторами; котангентный расслоение — это совокупность всех котангентных векторов вместе с естественной дифференцируемой структурой многообразия. Как и тангентное расслоение, котангентное расслоение также является дифференцируемым многообразием. Гамильтониан — это скалярная функция на котангентном расслоении. Полное пространство котангентного расслоения имеет структуру симплектического многообразия. Котангентные векторы иногда называют ковекторами. Котангентное расслоение можно также определить как расслоение 1-струй функций с M в R.

Элементы котангентного пространства можно рассматривать как бесконечно малые смещения: если f — дифференцируемая функция, то в каждой точке p можно определить котангентный вектор dfp, который отображает тангентный вектор Xp в производную f по направлению Xp. Однако не каждое ковекторное поле можно представить в таком виде. Те, которые можно, называются точными дифференциалами. Для заданного набора локальных координат xk дифференциалы dx образуют базис котангентного пространства в точке p.

Тензорная пучка

Тензорный пучок — это прямая сумма всех тензорных произведений тангенциального пучка и котангенциального пучка. Каждый элемент пучка — тензорное поле, которое может действовать как мультилинейный оператор на векторных полях или на других тензорных полях. Тензорный пучок не является дифференцируемым многообразием в традиционном смысле, поскольку он бесконечномерный. Однако он является алгеброй над кольцом скалярных функций. Каждый тензор характеризуется своими рангами, которые указывают, сколько в нём тангенциальных и котангенциальных факторов. Иногда эти ранги называют ковариантными и контравариантными, обозначая соответственно тангенциальные и котангенциальные ранги.

Фрейм-пакет

Рама (или, точнее, тангентная рама) — это упорядоченный базис конкретного тангентного пространства. Аналогично, тангентная рама является линейным изоморфизмом из Rn в это тангентное пространство. Движущаяся тангентная рама — это упорядоченный список векторных полей, образующих базис в каждой точке своей области определения. Движущуюся раму также можно рассматривать как сечение расслоения кадров F(M), являющегося главным расслоением GL(n, R), состоящим из множества всех рам над M. Расслоение кадров полезно, поскольку тензорные поля на M можно рассматривать как эквивариантные векторнозначные функции на F(M).

Сборник

На многообразии, достаточно гладком, можно также рассматривать различные виды пучков касательных элементов. Касательный пучок (первого порядка) многообразия – это множество кривых на многообразии, взятых по отношению к отношению эквивалентности касательности первого порядка. По аналогии, касательный пучок k-го порядка – это множество кривых, взятых по отношению к отношению касательности k-го порядка. Аналогично, кокасательный пучок – это пучок 1-струй функций на многообразии: пучок k-струй – это пучок их k-струй. Эти и другие примеры общей идеи пучков касательных элементов играют важную роль в изучении дифференциальных операторов на многообразиях. Понятие рамы также обобщается на случай касательных элементов более высокого порядка. Определим раму k-го порядка как k-струю диффеоморфизма из Rn в M. Множество всех рам k-го порядка, Fk(M), является главным расслоением Gk над M, где Gk – группа k-струй, то есть группа, состоящая из k-струй диффеоморфизмов Rn, фиксирующих начало координат. Следует отметить, что GL(n, R) естественно изоморфна G1 и является подгруппой каждого Gk, k ≥ 2. В частности, сечение F2(M) задает компоненты рамы аффинного связности на M. Таким образом, фактор-расслоение F2(M) / GL(n, R) является расслоением симметричных линейных связностей над M.

Расчет на коллекторах

Многие из методов многовариантного исчисления также применимы, mutatis mutandis, к дифференцируемым многообразиям. Можно определить направленную производную дифференцируемой функции вдоль касательного вектора к многообразию, например, и это приводит к способу обобщения полной производной функции: дифференциалу. С точки зрения исчисления, производная функции на многообразии ведет себя во многом так же, как обычная производная функции, определенной на евклидовом пространстве, по крайней мере, локально. Например, существуют обобщения теорем о неявных и обратных функциях для таких функций. Однако существуют важные различия в исчислении векторных полей (и тензорных полей в целом). Вкратце, направленная производная векторного поля не определена корректно или, по крайней мере, не определена непосредственно. Существует несколько обобщений производной векторного поля (или тензорного поля), которые отражают определенные формальные особенности дифференцирования в евклидовом пространстве. Основные из них: производная Ли, которая однозначно определяется дифференциальной структурой, но не удовлетворяет некоторым обычным свойствам направленного дифференцирования, и аффинное соединение, которое не определено однозначно, но более полно обобщает свойства обычного направленного дифференцирования. Поскольку аффинное соединение не является единственным, это дополнительная информация, которую необходимо задать на многообразии. Идеи из интегрального исчисления также переносятся на дифференцируемые многообразия. Они естественно выражаются на языке внешнего исчисления и дифференциальных форм. Основные теоремы интегрального исчисления для нескольких переменных — теорема Грина, теорема о дивергенции и теорема Стокса — обобщаются до теоремы (также называемой теоремой Стокса), связывающей внешнюю производную и интегрирование по подмногообразиям.

Дифференциальный исчисление функций

Дифференцируемые функции между двумя многообразиями необходимы для формулирования подходящих понятий подмногообразий и других связанных с ними понятий. Если f : M → N является дифференцируемой функцией от дифференцируемого многообразия M размерности m к другому дифференцируемому многообразию N размерности n, то дифференциал f является отображением df : TM → TN. Он также обозначается Tf и называется касательным отображением. В каждой точке M это линейное преобразование из одного касательного пространства в другое:

Ранг f в точке p равен рангу этого линейного преобразования. Обычно ранг функции является точечным свойством. Однако, если функция имеет максимальный ранг, то ранг останется постоянным в окрестности точки. Дифференцируемая функция "обычно" имеет максимальный ранг, в точном смысле, заданном теоремой Сарда. Функции максимального ранга в точке называются погружениями и подмногообразиями:

Если m ≤ n, и f : M → N имеет ранг m в p ∈ M, то f называется погружением в p. Если f является погружением во всех точках M и является гомеоморфизмом на свое изображение, то f является вложением. Вложения формализуют понятие о том, что M является подмногообразием N. В общем случае, вложение — это погружение без самопересечений и других видов нелокальных топологических особенностей. Если m ≥ n, и f : M → N имеет ранг n в p ∈ M, то f называется подмногообразием в p. Теорема о неявной функции утверждает, что если f является подмногообразием в p, то M локально является произведением N и Rm−n в окрестности p. В формальном выражении, существуют координаты (y1, …, yn) в окрестности f(p) в N, и m − n функций x1, …, xm−n, определенных в окрестности p в M, такие что это система локальных координат M в окрестности p. Подмногообразия образуют основу теории фибраций и расслоений.

Деривативная ложь

Производная Ли, названная в честь Соффуса Ли, является производной в алгебре тензорных полей над многообразием M. Векторное пространство всех производных Ли на M образует бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Ли, определяемой как

Производные Ли представляются векторными полями, как бесконечно малые генераторы потоков (активные диффеоморфизмы) на M. Рассматривая вопрос с обратной стороны, группа диффеоморфизмов M имеет ассоциированную алгебраическую структуру производных Ли, аналогичную теории групп Ли.

Внешний калькус

Внешний анализ позволяет обобщить операторы градиента, дивергенции и ротора. Пучок дифференциальных форм в каждой точке состоит из всех полностью антисимметричных мультилинейных отображений касательного пространства в этой точке. Он естественным образом разбивается на n-формы для каждого n, не превышающего размерность многообразия; n-форма — это форма от n переменных, также называемая формой степени n. 1-формы — это котангентные векторы, а 0-формы — просто скалярные функции. В общем случае, n-форма является тензором с котангентным рангом n и тангентным рангом 0. Однако не каждый такой тензор является формой, поскольку форма должна быть антисимметричной.

Классификация

Каждый одномерный связный гладкий многообразен диффеоморфен либо , либо , каждый из которых имеет свою стандартную гладкую структуру. Для классификации гладких 2-многообразий см. статью «Поверхность». В частности, любой двумерный связный компактный гладкий многообразен диффеоморфен одному из следующих: , или . Ситуация становится более сложной, если рассматривать комплексную дифференцируемую структуру вместо гладкой. Ситуация в трех измерениях значительно сложнее, а известные результаты более косвенны. Замечательным результатом, доказанным в 2002 году методами уравнений в частных производных, является гипотеза геометризации, которая, грубо говоря, утверждает, что любое компактное гладкое 3-многообразие можно разложить на различные части, каждая из которых допускает риманову метрику, обладающую множеством симметрий. Существуют также различные «результаты распознавания» для геометризуемых 3-многообразий, такие как жесткость Мостоу и алгоритм Селы для проблемы изоморфизма гиперболических групп. Известно, что классификация n-многообразий при n > 3 невозможна, даже с точностью до гомотопической эквивалентности. Для любой конечно представленной группы можно построить замкнутое 4-многообразие, имеющее эту группу в качестве фундаментальной группы. Поскольку не существует алгоритма для решения проблемы изоморфизма для конечно представленных групп, не существует алгоритма для определения, имеют ли два 4-многообразия одинаковую фундаментальную группу. Поскольку описанная выше конструкция приводит к классу 4-многообразий, которые гомеоморфны тогда и только тогда, когда их группы изоморфны, проблема гомеоморфизма для 4-многообразий неразрешима. Более того, поскольку даже распознавание тривиальной группы неразрешимо, в общем случае невозможно определить, имеет ли многообразие тривиальную фундаментальную группу, то есть является ли оно просто связным. Просто связные 4-многообразия были классифицированы с точностью до гомеоморфизма Фридманом с использованием формы пересечения и инварианта Кирби — Зибенманна. Теория гладких 4-многообразий известна своей сложностью, что демонстрируют экзотические гладкие структуры на R4. Однако ситуация становится более управляемой для просто связных гладких многообразий размерности ≥ 5, где теорема о h-кобордизме может быть использована для сведения классификации к классификации с точностью до гомотопической эквивалентности, и может быть применена теория хирургий. Это было выполнено для получения явной классификации просто связных 5-многообразий Деннисом Барденом.

(Псевдо-) римановские многообразия

Риманово многообразие состоит из гладкого многообразия вместе с положительно определенным внутренним произведением в каждом из тангентных пространств. Это семейство внутренних произведений называется римановой метрикой и является естественным симметричным тензорным полем второго ранга. Эта "метрика" определяет естественный векторный изоморфизм для каждой точки. На римановом многообразии можно определить понятия длины, объема и угла. Любому гладкому многообразию можно придать множество различных римановых метрик. Псевдориманово многообразие является обобщением понятия риманова многообразия, в котором внутренним произведениям разрешается иметь неопределённую сигнатуру, в отличие от положительной определенности; при этом они всё равно должны быть невырожденными. Каждое гладкое псевдориманово и риманово многообразие определяет ряд связанных тензорных полей, таких как тензор кривизны Римана. Псевдоримановы многообразия сигнатуры (3, 1) фундаментальны в общей теории относительности. Не каждому гладкому многообразию можно придать (нериманову) псевдориманову структуру; существуют топологические ограничения на это. Терминология для псевдоримановых многообразий варьируется у разных авторов, и значительная часть литературы по этой теме может быть упущена, если игнорировать альтернативные термины, такие как лоренцево или полуриманово. Многообразие Финслера — это другое обобщение риманова многообразия, в котором внутреннее произведение заменяется векторной нормой; таким образом, это позволяет определить длину, но не угол.

Группы лжи

Группа Ли состоит из гладкого многообразия вместе с групповой структурой на этом многообразии, такой что операции умножения и взятия обратного являются гладкими отображениями многообразий. Эти объекты часто естественным образом возникают при описании (непрерывных) симметрий и являются важным источником примеров гладких многообразий. Однако многие, казалось бы, знакомые примеры гладких многообразий не могут быть наделены структурой группы Ли, поскольку для заданной группы Ли G и любой точки x можно рассмотреть отображение, которое переводит единичный элемент в x, а затем, рассматривая дифференциал этого отображения, получить естественную идентификацию между любыми двумя касательными пространствами группы Ли. В частности, рассматривая произвольный ненулевой вектор в касательном пространстве к единичному элементу, можно использовать эти идентификации для построения гладкого, нигде не обращающегося в ноль векторного поля на G. Это показывает, например, что ни одна сфера четной размерности не может иметь структуру группы Ли. Тот же аргумент показывает более общо, что всякая группа Ли должна быть параллелизуемой.

Псевдогруппы

Понятие псевдогруппы обеспечивает гибкое обобщение атласов, чтобы позволить определять различные структуры на многообразиях единообразным образом. Псевдогруппа состоит из топологического пространства S и коллекции Γ, состоящей из гомеоморфизмов из открытых подмножеств S в другие открытые подмножества S, таких что если f ∈ Γ и U – открытое подмножество области определения f, то ограничение f|U также принадлежит Γ. Если f – гомеоморфизм из объединения открытых подмножеств S к открытому подмножеству S, то f ∈ Γ при условии, что для каждого i. Для каждого открытого U ⊂ S тождественное преобразование U принадлежит Γ. Если f ∈ Γ, то f−1 ∈ Γ. Композиция двух элементов Γ принадлежит Γ. Эти три последних условия аналогичны определению группы. Однако следует отметить, что Γ не обязательно является группой, поскольку функции не определены глобально на S. Например, множество всех локальных Ck-диффеоморфизмов на Rn образует псевдогруппу. Все биголоморфные отображения между открытыми множествами в Cn образуют псевдогруппу. Другие примеры включают: сохраняющие ориентацию отображения Rn, симплектоморфизмы, преобразования Мёбиуса, аффинные преобразования и так далее. Таким образом, широкий спектр классов функций определяет псевдогруппы. Атлас (Ui, φi) гомеоморфизмов φi из Ui ⊂ M в открытые подмножества топологического пространства S считается совместимым с псевдогруппой Γ, если переходные функции φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) все принадлежат Γ. Дифференцируемое многообразие является тогда атласом, совместимым с псевдогруппой Ck-функций на Rn. Комплексное многообразие является атласом, совместимым с биголоморфными функциями на открытых множествах в Cn. И так далее. Таким образом, псевдогруппы предоставляют единую основу для описания многих структур на многообразиях, важных для дифференциальной геометрии и топологии.

Структурный сгусток

Иногда бывает полезно использовать альтернативный подход для наделения многообразия структурой Ck. Здесь k = 1, 2, ..., ∞ или ω для вещественно-аналитических многообразий. Вместо рассмотрения координатных карт можно начать с функций, определенных непосредственно на самом многообразии. Структурный пучок M, обозначаемый Ck, представляет собой своего рода функтор, который для каждого открытого множества U ⊂ M определяет алгебру Ck(U) непрерывных функций U → R. Структурный пучок Ck наделяет M структурой Ck-многообразия размерности n, если для любой точки p ∈ M существует окрестность U точки p и n функций x1, ..., xn ∈ Ck(U) таких, что отображение f = (x1, ..., xn) : U → Rn является гомеоморфизмом на открытое множество в Rn, и таких, что Ck|U является обратным образом пучка k раз непрерывно дифференцируемых функций на Rn. В частности, это последнее условие означает, что любая функция h из Ck(V), для V, может быть единственным образом представлена в виде h(x) = H(x1(x), ..., xn(x)), где H – k раз дифференцируемая функция на f(V) (открытом множестве в Rn). Таким образом, пучковая точка зрения заключается в том, что функции на дифференцируемом многообразии могут быть выражены в локальных координатах как дифференцируемые функции на Rn, и, априори, этого достаточно для характеристики дифференциальной структуры на многообразии.

Некоммутативная геометрия

Для многообразия Ck M множество вещественнозначных функций Ck на многообразии образует алгебру относительно поточечного сложения и умножения, называемую алгеброй скалярных полей или просто алгеброй скаляров. Эта алгебра имеет постоянную функцию 1 в качестве мультипликативной единицы и является дифференцируемым аналогом кольца регулярных функций в алгебраической геометрии. Возможно восстановить многообразие из его алгебры скаляров, сначала как множество, но также и как топологическое пространство – это применение теоремы Банаха–Стоуна, и более формально известно как спектр C*-алгебры. Во-первых, существует взаимно однозначное соответствие между точками M и алгебраическими гомоморфизмами φ: Ck(M) → R, поскольку такой гомоморфизм φ соответствует идеалу коразмерности один в Ck(M) (а именно ядру φ), который обязательно является максимальным идеалом. И наоборот, каждый максимальный идеал в этой алгебре является идеалом функций, обращающихся в нуль в одной точке, что демонстрирует, что MSpec (Max Spec) Ck(M) восстанавливает M как множество точек, хотя на самом деле он восстанавливает M как топологическое пространство. Различные геометрические структуры можно определить алгебраически в терминах алгебры скаляров, и эти определения часто обобщаются на алгебраическую геометрию (интерпретируя кольца геометрически) и теорию операторов (интерпретируя пространства Банаха геометрически). Например, тангенциальный пучок к M можно определить как производные алгебры гладких функций на M.

Эта "алгебраизация" многообразия (замена геометрического объекта алгеброй) приводит к понятию C*-алгебры – коммутативная C*-алгебра является, по теореме Банаха–Стоуна, точно кольцом скаляров многообразия, и позволяет рассматривать некоммутативные C*-алгебры как некоммутативные обобщения многообразий. Это основа области некомутативной геометрии.