Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе топология мен геометрияда, псевдоголоморфтық қисық (немесе J-голоморфтық қисық) — Риман бетінен дерлік кешенді көптүрлілікке дейінгі, Кауши-Риман теңдеуін қанағаттандыратын тегіс бейнелеу. 1985 жылы Михаил Громов енгізген псевдоголоморфтық қисықтар симплектикалық көптүрліліктерді зерттеуде революция жасады. Атап айтқанда, олар Громов-Виттен инварианттарына және Флоер гомологиясына алып келеді және ішек теориясында маңызды рөл атқарады.
In mathematics, specifically in topology and geometry, a pseudoholomorphic curve (or J holomorphic curve) is a smooth map from a Riemann surface into an almost complex manifold that satisfies the Cauchy–Riemann equation. Introduced in 1985 by Mikhail Gromov, pseudoholomorphic curves have since revolutionized the study of symplectic manifolds. In particular, they lead to the Gromov–Witten invariants and Floer homology, and play a prominent role in string theory.
Симплектикалық топологияда қолдану
Псевдоголоморфтық қисықтар кез келген дерлік күрделі көптік үшін анықталғанымен, симплектикалық формамен өзара әрекеттескенде ерекше қызығушылық тудырады. Күрделі құрылым, егер және тек барлық нөлдік емес жанама векторлар үшін
Although they can be defined for any almost complex manifold, pseudoholomorphic curves are especially interesting when interacts with a symplectic form An almost complex structure is said to be tame if and only if
орындалса, «бағынышты» деп аталады. Бағыныштылық, келесі формула
for all nonzero tangent vectors Tameness implies that the formula
Риман метрикасын анықтайтынын білдіреді. Громов, берілген жағдайда, «бағынышты» кеңістіктің бос емес және қайтарылатын екенін көрсетті. Ол осы теорияны шарлардың цилиндрлерге симплектикалық енгізілуіне қатысты сығымсыздық туралы теореманы дәлелдеу үшін пайдаланды. Громов псевдоголоморфтық қисықтардың кейбір модульдік кеңістіктерінің (қосымша белгіленген шарттарды қанағаттандыратындардың) ықшам екенін көрсетті және тек шекті энергия болған жағдайда псевдоголоморфтық қисықтардың қалай дегенерацияланатынын сипаттады. (Шекті энергия шарты ең алдымен J-дің үйлесімді немесе симплектикалық көптіктердегі тұрақты гомология класы бар қисықтар үшін қолданылады). Қазір тұрақты карталарды пайдалану арқылы кеңінен жалпыланған осы Громовтың ықшамдық теоремасы, симплектикалық көптіктердегі псевдоголоморфтық қисықтарды санайтын Громов-Виттен инварианттарын анықтауға мүмкіндік береді. Псевдоголоморфтық қисықтардың ықшам модульдік кеңістіктері Флоер гомологиясын құру үшін де қолданылады, оны Андреас Флоер (және кейінгі авторлар, одан да жалпырақ) Владимир Арнольдтың Гамильтон ағындарының тұрақты нүктелерінің санына қатысты әйгілі болжамын дәлелдеу үшін пайдаланды.
defines a Riemannian metric on Gromov showed that, for a given , the space of tame is nonempty and contractible. He used this theory to prove a non squeezing theorem concerning symplectic embeddings of spheres into cylinders. Gromov showed that certain moduli spaces of pseudoholomorphic curves (satisfying additional specified conditions) are compact, and described the way in which pseudoholomorphic curves can degenerate when only finite energy is assumed. (The finite energy condition holds most notably for curves with a fixed homology class in a symplectic manifold where J is tame or compatible). This Gromov compactness theorem, now greatly generalized using stable maps, makes possible the definition of Gromov–Witten invariants, which count pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Compact moduli spaces of pseudoholomorphic curves are also used to construct Floer homology, which Andreas Floer (and later authors, in greater generality) used to prove the famous conjecture of Vladimir Arnol'd concerning the number of fixed points of Hamiltonian flows.
Физикадағы қолданулары
II типті жол теориясында, Calabi–Yau 3 бүктемесі бойынша қозғалатын жолдармен салынған беттер қарастырылады. Кванттық механиканың жол интегралы тұжырымына сәйкес, мұндай беттердің барлық кеңістігі бойынша белгілі бір интегралдарды есептеу қажет. Мұндай кеңістік шексіз өлшемді болғандықтан, бұл жол интегралдары әдетте математикалық жағынан дұрыс анықталмайды. Дегенмен, А бұрылысын қолдану арқылы беттер псевдоголоморфтық қисықтармен параметрленетіні және жол интегралдары псевдоголоморфтық қисықтардың модульдік кеңістіктеріндегі (немесе, дәлірек айтқанда, тұрақты бейнелеулердегі) интегралдарға дейін тоғатыны анықталады, олар шекті өлшемді. Мысалы, жабық IIA типті жол теориясында, бұл интегралдар нақты Громов-Виттен инварианттары болып табылады.
In type II string theory, one considers surfaces traced out by strings as they travel along paths in a Calabi–Yau 3 fold. Following the path integral formulation of quantum mechanics, one wishes to compute certain integrals over the space of all such surfaces. Because such a space is infinite dimensional, these path integrals are not mathematically well defined in general. However, under the A twist one can deduce that the surfaces are parametrized by pseudoholomorphic curves, and so the path integrals reduce to integrals over moduli spaces of pseudoholomorphic curves (or rather stable maps), which are finite dimensional. In closed type IIA string theory, for example, these integrals are precisely the Gromov–Witten invariants.