Введение
В математике, в частности в топологии и геометрии, псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение с римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнению Коши — Римана. Введенные в 1985 году Михаилом Громовым, псевдоголоморфные кривые с тех пор совершили революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, они приводят к инвариантам Громова — Уиттена и гомологии Флоэра и играют важную роль в теории струн.
Применение в симплектической топологии
Хотя они могут быть определены для любого почти комплексного многообразия, псевдоголоморфные кривые особенно интересны при взаимодействии с симплектической формой. Почти комплексная структура считается укрощенной, если и только если для всех ненулевых касательных векторов. Укрощенность подразумевает, что формула определяет риманову метрику на. Громов показал, что для заданного , пространство укрощенных структур не пусто и стягиваемо. Он использовал эту теорию для доказательства теоремы о несжатии, касающейся симплектических вложений сфер в цилиндры. Громов показал, что некоторые пространства модулей псевдоголоморфных кривых (удовлетворяющие дополнительным заданным условиям) компактны, и описал способ, которым псевдоголоморфные кривые могут вырождаться при условии конечной энергии. (Условие конечной энергии наиболее заметно для кривых с фиксированным классом гомологии в симплектическом многообразии, где J является укрощенным или совместимым). Эта теорема о компактности Громова, теперь значительно обобщенная с использованием стабильных отображений, делает возможным определение инвариантов Громова — Виттена, которые подсчитывают псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. Компактные пространства модулей псевдоголоморфных кривых также используются для построения гомологии Флоэра, которую Андреас Флоэр (и последующие авторы, в более общем виде) использовали для доказательства знаменитой гипотезы Владимира Арнольда о числе фиксированных точек гамильтоновых потоков.
for all nonzero tangent vectors Tameness implies that the formula
defines a Riemannian metric on Gromov showed that, for a given , the space of tame is nonempty and contractible. He used this theory to prove a non squeezing theorem concerning symplectic embeddings of spheres into cylinders. Gromov showed that certain moduli spaces of pseudoholomorphic curves (satisfying additional specified conditions) are compact, and described the way in which pseudoholomorphic curves can degenerate when only finite energy is assumed. (The finite energy condition holds most notably for curves with a fixed homology class in a symplectic manifold where J is tame or compatible). This Gromov compactness theorem, now greatly generalized using stable maps, makes possible the definition of Gromov–Witten invariants, which count pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Compact moduli spaces of pseudoholomorphic curves are also used to construct Floer homology, which Andreas Floer (and later authors, in greater generality) used to prove the famous conjecture of Vladimir Arnol'd concerning the number of fixed points of Hamiltonian flows.
Применение в физике
В теории струн II типа рассматриваются поверхности, описываемые струнами при их движении по траекториям в Calabi–Yau 3-многообразии. В соответствии с интегральным формулированием квантовой механики, необходимо вычислить определенные интегралы по пространству всех таких поверхностей. Поскольку это пространство бесконечномерно, эти интегралы по траекториям, как правило, не имеют строгого математического определения. Однако, при A-скручивании можно показать, что поверхности параметризуются псевдоголоморфными кривыми, и тогда интегралы по траекториям сводятся к интегралам по модульным пространствам псевдоголоморфных кривых (или, точнее, стабильных отображений), которые являются конечномерными. В замкнутой теории струн IIA, например, эти интегралы являются как раз инвариантами Громова — Уиттена.