Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе симплектикалық топология және алгебралық геометрия салаларында, Громов-Уиттен (GW) инварианттары — нақты жағдайларда берілген симплектикалық манифольдта белгілі шарттарды қанағаттандыратын псевдоголоморфтық қисықтарды санайтын рационал сандар. GW инварианттары тиісті кеңістікте гомология немесе когомология класы түрінде немесе кванттық когомологияның деформацияланған тостаған көбейтіндісі ретінде ұсылынуы мүмкін. Бұл инварианттар бұрын ажырату мүмкін болмаған симплектикалық манифольдтарды ажыратуға қолданылды. Олар сондай-ақ жабық IIА типті струна теориясында маңызды рөл атқарады. Олар Михаил Громов және Эдвард Виттеннің құрметіне аталған. Громов-Уиттен инварианттарының қатаң математикалық анықтамасы ұзақ және күрделі болғандықтан, ол тұрақты карта туралы мақалада жеке қарастырылады. Бұл мақала инварианттардың мағынасын, оларды қалай есептеуге болатынын және олардың маңыздылығын түсіндіруге бағытталған.
In mathematics, specifically in symplectic topology and algebraic geometry, Gromov–Witten (GW) invariants are rational numbers that, in certain situations, count pseudoholomorphic curves meeting prescribed conditions in a given symplectic manifold. The GW invariants may be packaged as a homology or cohomology class in an appropriate space, or as the deformed cup product of quantum cohomology. These invariants have been used to distinguish symplectic manifolds that were previously indistinguishable. They also play a crucial role in closed type IIA string theory. They are named after Mikhail Gromov and Edward Witten. The rigorous mathematical definition of Gromov–Witten invariants is lengthy and difficult, so it is treated separately in the stable map article. This article attempts a more intuitive explanation of what the invariants mean, how they are computed, and why they are important.
Есептеу техникасы
Громов-Виттен инварианттарын есептеу әдетте қиын. Олар кез келген жалпы жақындасқан күрделі құрылым J үшін анықталғанмен, оператордың D сызықтықтандырылуы сюръективті болса да, олар нақты таңдалған J-ге қатысты есептелуі тиіс. J-ді ерекше қасиеттері бар, мысалы, генерикалық емес симметриялар немесе интегралданушылықпен таңдау ыңғайлырақ. Шындығында, есептеулер көбінесе алгебралық геометрия әдістерін қолдана отырып, Кэлер көптүрліліктерінде жүргізіледі. Дегенмен, арнайы J, күтпегендей үлкен емес D-ді және осылайша псевдоголоморфтық қисықтардың модульдік кеңістігін тудыруы мүмкін. Бұл әсерді D кок-ядросынан обструкциялық бундель деп аталатын векторлық бундель құру арқылы түзетуге болады, содан кейін GW инвариантын обструкциялық бундельдің Эйлер класының интегралы ретінде жүзеге асыруға болады. Бұл идеяны нақтылау үшін Кураниси құрылымдарын қолдана отырып, маңызды техникалық аргументтер қажет. Негізгі есептеу техникасы – локализация. Бұл X торикалық болған кезде қолданылады, яғни оған күрделі тор әсер етеді немесе кем дегенде жергілікті түрде торикалық. Содан кейін Майкл Атиях пен Рауль Ботттың Атиях-Ботт тұрақты нүкте теоремасын қолданып, GW инвариантын есептеуді әрекеттің тұрақты нүктелерінің локусына интегралдау арқылы азайтуға немесе локализациялауға болады. Тағы бір тәсіл – Х-ті бір немесе бірнеше басқа кеңістіктермен байланыстыратын симплектикалық операцияларды қолдану, олардың GW инварианттарын оңайырақ есептеуге болады. Әрине, алдымен операциялар кезінде инварианттардың қалай өзгеретінін түсіну керек. Мұндай қолданымдар үшін көбінесе екі нақты кодименсиялы X-тің симплектикалық субманолифті бойындағы белгіленген жанасу шарттарымен қисықтарды санайтын, күрделірек салыстырмалы GW инварианттары қолданылады.
Gromov–Witten invariants are generally difficult to compute. While they are defined for any generic almost complex structure J, for which the linearization D of the operator is surjective, they must actually be computed with respect to a specific, chosen J. It is most convenient to choose J with special properties, such as nongeneric symmetries or integrability. Indeed, computations are often carried out on Kähler manifolds using the techniques of algebraic geometry. However, a special J may induce a nonsurjective D and thus a moduli space of pseudoholomorphic curves that is larger than expected. Loosely speaking, one corrects for this effect by forming from the cokernel of D a vector bundle, called the obstruction bundle, and then realizing the GW invariant as the integral of the Euler class of the obstruction bundle. Making this idea precise requires significant technical arguments using Kuranishi structures. The main computational technique is localization. This applies when X is toric, meaning that it is acted upon by a complex torus, or at least locally toric. Then one can use the Atiyah–Bott fixed point theorem, of Michael Atiyah and Raoul Bott, to reduce, or localize, the computation of a GW invariant to an integration over the fixed point locus of the action. Another approach is to employ symplectic surgeries to relate X to one or more other spaces whose GW invariants are more easily computed. Of course, one must first understand how the invariants behave under the surgeries. For such applications one often uses the more elaborate relative GW invariants, which count curves with prescribed tangency conditions along a symplectic submanifold of X of real codimension two.
Қатынасты инварианттар және басқа құрылымдар
ГВ инварианттары геометриядағы басқа да көптеген ұғымдармен тығыз байланысты, соның ішінде симплектикалық санаттағы Дональдсон инварианттары мен Сейберг-Уиттен инварианттары, ал алгебралық санаттағы Дональдсон-Томас теориясы. Компактты симплектикалық төрт көптүрлілік үшін Клиффорд Таубес GW инварианттарының бір түрі (Таубестің Громов инвариантына қараңыз) Сейберг-Уиттен инварианттарына тең екенін көрсетті. Алгебралық үштіктер үшін олар бүтін санды Дональдсон-Томас инварианттарымен бірдей ақпаратты қамтиды деп есептеледі. Физикалық қарастырулар Гопакумар-Вафа инварианттарын да тудырады, олар әдетте рационалды Громов-Виттен теориясына негізгі бүтін санды есептеуді беруге арналған. Гопакумар-Вафа инварианттарының қатаң математикалық анықтамасы әзірге жоқ, және бұл саланың маңызды мәселелерінің бірі. Тегіс проективті сорттардың Громов-Виттен инварианттарын алгебралық геометрия шеңберінде толық анықтауға болады. Жазық қисықтардың классикалық санама геометриясы және гомогенді кеңістіктердегі рационалды қисықтардың екеуі де GW инварианттарымен сипатталады. Дегенмен, GW инварианттарының классикалық санамалы есептерге қарағанда басты артықшылығы – олар нысананың кешенді құрылымының деформацияларына қатысты өзгермейді. GW инварианттары симплектикалық немесе проективті көптүрліліктің когомология сақинасындағы көбейтінді құрылымының деформацияларын да ұсынады; оларды X көптүрлілігінің кванттық когомология сақинасын құру үшін жинақтауға болады, бұл обычайлы когомологияның деформациясы. Деформацияланған көбейтіндінің ассоциативтілігі, негізінен, инварианттарды анықтау үшін қолданылатын тұрақты карталардың модульдік кеңістігінің өзіне ұқсас сипатына байланысты. Кванттық когомология сақинасы симплектикалық Флор гомологиясына, оның бір жұп шалбарлы көбейтіндісімен изоморфты болып табылады.
The GW invariants are closely related to a number of other concepts in geometry, including the Donaldson invariants and Seiberg–Witten invariants in the symplectic category, and Donaldson–Thomas theory in the algebraic category. For compact symplectic four manifolds, Clifford Taubes showed that a variant of the GW invariants (see Taubes's Gromov invariant) are equivalent to the Seiberg–Witten invariants. For algebraic threefolds, they are conjectured to contain the same information as integer valued Donaldson–Thomas invariants. Physical considerations also give rise to Gopakumar–Vafa invariants, which are meant to give an underlying integer count to the typically rational Gromov Witten theory. The Gopakumar Vafa invariants do not presently have a rigorous mathematical definition, and this is one of the major problems in the subject. The Gromov Witten invariants of smooth projective varieties can be defined entirely within algebraic geometry. The classical enumerative geometry of plane curves and of rational curves in homogeneous spaces are both captured by GW invariants. However, the major advantage that GW invariants have over the classical enumerative counts is that they are invariant under deformations of the complex structure of the target. The GW invariants also furnish deformations of the product structure in the cohomology ring of a symplectic or projective manifold; they can be organized to construct the quantum cohomology ring of the manifold X, which is a deformation of the ordinary cohomology. The associativity of the deformed product is essentially a consequence of the self similar nature of the moduli space of stable maps that are used to define the invariants. The quantum cohomology ring is known to be isomorphic to the symplectic Floer homology with its pair of pants product.
Физикада қолдану
GW инварианттары жалпы салыстырмалылық теориясы мен кванттық механиканы біріктіруге тырысатын физика саласы – жол теориясында қызығушылық тудырады. Бұл теория бойынша, ғаламдағы барлық нәрсе, элементар бөлшектерден бастап, кішкентай жіптерден тұрады. Жіп кеңістік-уақыт арқылы қозғалғанда, ол жіптің әлемдік қабықшасы деп аталатын бетті құрайды. Өкінішке орай, мұндай параметрленген беттердің модульдік кеңістігі, кем дегенде априори, шексіз өлшемді; бұл кеңістікте тиісті өлшем белгісіз, сондықтан теорияның жол интегралдары қатаң түрде анықталмаған. Жабық А моделі деп аталатын түрінде жағдай жақсарады. Мұнда симплектикалық көптік құрайтын алты кеңістік-уақыт өлшемдері бар, және әлемдік қабықшалар міндетті түрде псевдоголоморфтық қисықтармен параметрленеді, олардың модульдік кеңістіктері тек шекті өлшемді. GW инварианттары, осы модульдік кеңістіктердегі интегралдар ретінде, теорияның жол интегралдары болып табылады. Атап айтқанда, А моделінің g тегіндегі еркін энергиясы g тегіндегі GW инварианттарының туынды функциясы болып табылады.
GW invariants are of interest in string theory, a branch of physics that attempts to unify general relativity and quantum mechanics. In this theory, everything in the universe, beginning with the elementary particles, is made of tiny strings. As a string travels through spacetime it traces out a surface, called the worldsheet of the string. Unfortunately, the moduli space of such parametrized surfaces, at least a priori, is infinite dimensional; no appropriate measure on this space is known, and thus the path integrals of the theory lack a rigorous definition. The situation improves in the variation known as closed A model. Here there are six spacetime dimensions, which constitute a symplectic manifold, and it turns out that the worldsheets are necessarily parametrized by pseudoholomorphic curves, whose moduli spaces are only finite dimensional. GW invariants, as integrals over these moduli spaces, are then path integrals of the theory. In particular, the free energy of the A model at genus g is the generating function of the genus g GW invariants.