Введение
В математике, в частности в симплектической топологии и алгебраической геометрии, инварианты Громова — Виттена (GW) — это рациональные числа, которые в определенных ситуациях подсчитывают псевдоголоморфные кривые, удовлетворяющие заданным условиям в данном симплектическом многообразии. Инварианты GW могут быть представлены в виде класса гомологии или кохомологии в соответствующем пространстве или как деформированное попарное произведение квантовой кохомологии. Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее считались неразличимыми. Они также играют важную роль в теории струн типа IIA с замкнутыми струнами. Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена. Строгое математическое определение инвариантов Громова — Виттена является сложным и объемным, поэтому оно рассматривается отдельно в статье, посвященной стабильным отображениям. В данной статье предпринята попытка более интуитивного объяснения смысла инвариантов, способов их вычисления и причин их важности.
Вычислительные методы
Инварианты Громова-Виттен обычно трудно вычислить. Хотя они определены для любой общей почти комплексной структуры J, для которой линеаризация D оператора сюръективна, на практике их необходимо вычислять относительно конкретной, выбранной J. Наиболее удобно выбирать J со специальными свойствами, такими как негенерические симметрии или интегрируемость. Действительно, вычисления часто выполняются на кэлеровых многообразиях с использованием методов алгебраической геометрии. Однако специальная J может индуцировать несуръективную D и, следовательно, модульное пространство псевдоголоморфных кривых, которое оказывается больше ожидаемого. В общих чертах, этот эффект корректируется путем построения векторного расслоения из коядра D, называемого расслоением обструкций, а затем представления GW-инварианта как интеграла от класса Эйлера этого расслоения. Чтобы сделать эту идею точной, требуются существенные технические аргументы с использованием структур Кураниси. Основной вычислительный метод – локализация. Он применим, когда X является торическим, то есть, на него действует комплексный тор, или, по крайней мере, локально торическим. Тогда можно использовать теорему о неподвижных точках Атия-Ботта, сформулированную Майклом Атия и Раулем Боттом, чтобы свести или локализовать вычисление GW-инварианта к интегрированию по множеству неподвижных точек действия. Другой подход заключается в использовании симплектических хирургий для установления связи между X и одним или несколькими другими пространствами, GW-инварианты которых легче вычислить. Разумеется, сначала необходимо понять, как инварианты изменяются в результате этих хирургий. Для таких приложений часто используются более сложные относительные GW-инварианты, которые подсчитывают кривые с заданными условиями касательности вдоль симплектического подмногообразия X реальной коразмерности два.
Связанные инварианты и другие конструкции
Инварианты GW тесно связаны с рядом других концепций в геометрии, включая инварианты Дональдсона и инварианты Сейберга-Уиттена в симплектической категории, и теорию Дональдсона-Томаса в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырёх многообразий Клиффорд Таубес показал, что вариант инвариантов GW (см. инвариант Громова Таубеса) эквивалентен инвариантам Сейберга-Уиттена. Для алгебраических трёхмерных многообразий предполагается, что они содержат ту же информацию, что и инварианты Дональдсона-Томаса с целыми значениями. Физические соображения также приводят к инвариантам Гопакумара-Вафы, которые призваны давать фундаментальный подсчёт целых чисел для типичной рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафы в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в данной области. Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть определены исключительно в рамках алгебраической геометрии. Классическая энумеративная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах полностью описывается инвариантами GW. Однако, главное преимущество инвариантов GW перед классическими энумеративными подсчётами заключается в их инвариантности относительно деформаций комплексной структуры целевого пространства. Инварианты GW также задают деформации структуры произведения в кольце кохомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать для построения кольца квантовой кохомологии многообразия X, которое является деформацией обычной кохомологии. Ассоциативность деформированного произведения по сути является следствием самоподобия модульного пространства устойчивых отображений, используемых для определения инвариантов. Известно, что кольцо квантовой кохомологии изоморфно симплектической гомологии Флоера с её произведением «пара штанов».
Применение в физике
Инварианты ГВ представляют интерес для теории струн, области физики, стремящейся объединить общую теорию относительности и квантовую механику. В этой теории всё во Вселенной, начиная с элементарных частиц, состоит из крошечных струн. При движении струны сквозь пространство-время она описывает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере, априори, бесконечномерно; подходящая мера на этом пространстве неизвестна, и, следовательно, интегралы по траекториям теории не имеют строгого определения. Ситуация улучшается в варианте, известном как замкнутая модель А. Здесь имеется шесть пространственно-временных измерений, образующих симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризуются псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых имеют лишь конечные размерности. Инварианты ГВ, как интегралы по этим пространствам модулей, являются интегралами по траекториям теории. В частности, свободная энергия модели А рода g является производящей функцией инвариантов ГВ рода g.