Кіріспе
Дивергентті қатарлардың жиынтықтау әдісі
Математикада Борель жиынтықтауы – дивергентті қатарлар үшін қолданылатын жиынтықтау әдісі, оны Борель ұсынған. Бұл әдіс ерекше түрде дивергентті асимптотикалық қатарларды жиынтықтау үшін тиімді және белгілі бір мағынада мұндай қатарлар үшін ең жақсы мүмкін жиынтықты береді. Осы әдістің бірнеше түрі де Борель жиынтықтауы деп аталады, ал оның жалпыламасы Миттаг-Леффлер жиынтықтауы деп аталады.
Борельдің интегралды жиынтық әдісі, талдау жалғасы
Бұл Борель интегралды қосындылау әдісіне ұқсас, бірақ Борель түрлендіруінің барлық t үшін жинақталуы міндетті емес, бірақ 0-ге жақын t-нің аналитикалық функциясына жинақталады, оны оң нақты ось бойымен аналитикалық түрде жалғастыруға болады.
Басқа жиынтық әдістермен қатынасы
("B") – 1=α=1 болатын Миттаг-Леффлер қосындысының ерекше жағдайы. ("wB") жалпыланған Эйлер қосындылау әдісінің ('E',q) шекті жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін, себебі q → ∞ болғанда ('E',q) әдісінің жуысу аймағы ('B') әдісінің жуысу аймағына дейін таясады.
Бірегейлік теоремалары
Кез келген асимптотикалық кеңеюде әрқашан көптеген түрлі функциялар кездеседі. Дегенмен, кейде белгілі бір аймақта шекті өлшемді жуықтаулардағы қателер ең аз болатындай, ең қолайлы функция болады. Уотсон теоремасы және Карлеман теоремасы Борелдің қосындысының осы қатардың ең қолайлы қосындысын беретінін көрсетеді.
Карлеман теоремасы
Карлеман теоремасы функцияның секторындағы асимптотикалық қатар арқылы бірегей түрде анықталатынын көрсетеді, егер шекті реттік жуықтамалардағы қателер тым жылдам өспесе. Нақтырақ айтқанда, егер f функциясы Re(z) > 0 шартындағы сектордың ішкі бөлігінде аналитикалық болса және барлық n үшін осы аймақта |f(n)| шектеулі болса, онда f функциясы нөлге тең болады, егер 1/b0 + 1/b1 + ... қатары дивергент болса. Карлеман теоремасы мүшелері тым жылдам өспейтін кез келген асимптотикалық қатар үшін жинақтау әдісін ұсынады, себебі жиынтық осы асимптотикалық қатармен сәйкес келетін сектордағы бірегей функция ретінде анықталуы мүмкін, егер мұндай функция болса. Борел жинақтауы, 1 = bn = cn шартындағы тұрақты c үшін, осы теореманың ерекше жағдайынан сәл әлсіз. Көбірек айтқанда, Борел жинақтауынан сәл күшті жинақтау әдістерін анықтауға болады, мысалы, bn сандарын сәл үлкендеп алу арқылы, мысалы, 1 = bn = cn log n немесе 1 = bn = cn log n log log n. Бірақ іс жүзінде бұл жалпылаудың пайдасы шамалы, себебі осы әдіспен жинақталатын, бірақ Борел әдісімен жинақтала алмайтын қатарлардың табиғи мысалдары дерлік жоқ.
Мысал
1=f(z) = exp(–1/z) функциясы 1=0 + 0z + асимптотикалық қатарға ие, жоғарыда көрсетілген формадағы қателік шегімен, кез келген үшін, бірақ оның асимптотикалық қатарының Борель қосындысымен берілмейді. Бұл Уотсон теоремасындағы санды кез келген кішірек санмен алмастыруға болмайтынын көрсетеді (егер қателік шегі кішірек болмаса).
Аккордтар бойынша жиынтықталуы
Егер формальды A(z) қатары z0 ∈ 'C' нүктесінде Борель жиынтығына ие болса, онда ол z0-дан бастау нүктесіне жалғасқан Oz0 хордасының барлық нүктелерінде де Борель жиынтығына ие болады. Сонымен қатар, Oz0 радиусы бар дискінің ішінде аналитикалық болатын a(z) функциясы бар, осылайша барлық 1=z = θz0, θ ∈ [0,1] үшін. Мұның тікелей салдары – Борель қосындысының жуысатын аймағы 'C'-де жұлдыз тәрізді аймақ болып табылады. Борель қосындысының жуысатын аймағы туралы, оны Борель көпбұрышы деп атайды, жұлдыз тәрізді аймақтан гөрі көбірек айтуға болады және ол A(z) қатарының ерекшеліктерімен анықталады.
for all 1=z = θz0, θ ∈ [0,1]. An immediate consequence is that the domain of convergence of the Borel sum is a star domain in 'C'. More can be said about the domain of convergence of the Borel sum, than that it is a star domain, which is referred to as the Borel polygon, and is determined by the singularities of the series A(z).
Борел көпбұрышы
A(z) функциясының конвергенция радиусы қатаң оң деп есептейік, сондықтан ол нөл нүктесін қамтитын тривиальді емес аймақта аналитикалық болады, ал SA – A функциясының сингулярлықтар жиыны болсын. Бұл P ∈ SA егер және тек қана A функциясын 0-ден P нүктесіне дейінгі ашық хорда бойынша аналитикалық түрде жалғастыруға болады, бірақ P нүктесінің өзіне емес. P ∈ SA үшін LP – P нүктесі арқылы өтетін және OP хордасына перпендикуляр түзу болсын. Келесі жиындарды анықтаймыз: LP түзуінің нөл нүктесімен бір жағында жатқан нүктелер жиыны. A функциясының Борел көпбұрышы – бұл жиын. Борел және Фрагмен балама анықтама қолданды. А функциясының аналитикалық кеңейтімі бар ең үлкен жұлдыз тәрізді доменді білдірейік, содан кейін ол OP диаметріне тең шеңбердің ішкі бөлігін қамтитын ең үлкен ішкі жиын болады. Бұл жиынды көпбұрыш деп атау шартты, өйткені жиын мүлдем көпбұрышты болуы міндетті емес; алайда, егер A(z) функциясы тек шекті санда сингулярлықтарға ие болса, онда ол шын мәнінде көпбұрыш болады. Борел және Фрагменге тиесілі келесі теорема Борел жиынтығының конвергенция критерийлерін ұсынады. Теорема. A(z) қатарлары барлық нүктелерде ('B') жинақталады және барлық нүктелерде ('B') жинақталмайды. ('B') жинақталуы нүктенің сипатына байланысты екенін ескеріңіз.
the set of points which lie on the same side of LP as the origin. The Borel polygon of A is the set
An alternative definition was used by Borel and Phragmén Let denote the largest star domain on which there is an analytic extension of A, then is the largest subset of such that for all the interior of the circle with diameter OP is contained in Referring to the set as a polygon is somewhat of a misnomer, since the set need not be polygonal at all; if, however, A(z) has only finitely many singularities then will in fact be a polygon. The following theorem, due to Borel and Phragmén provides convergence criteria for Borel summation. Theorem The series A(z) is ('B') summable at all , and is ('B') divergent at all
Note that ('B') summability for depends on the nature of the point.
1-ші мысал
ωi ∈ 'C' бірліктің m-ші түбірін білдірсін, мұнда i = 1, 2, ..., m, және келесіні қарастырайық:
ол B(0,1) ⊂ 'C'-де жинақталады. 'C' бойынша функция ретінде қарастырылғанда, A(z) функциясы нүктелерінде ерекшеліктерге ие, сондықтан Борель көпбұрышы – нөл нүктесінде орналасқан дұрыс m қабырғалы полигон, және 1 ∈ 'C' қабырғаның ортасы болып табылады.
Таубер теоремасы
Таубер теоремасы бір жиынтық әдісінің жуысуы екінші әдіс бойынша жуысуға алып келетін шарттарды береді. Борел жиынтығының негізгі Таубер теоремасы Борелдің әлсіз әдісі қатардың жуысуын білдіретін шарттарды береді. Теорема: Егер A ("wB") z0 ∈ 'C' нүктесінде жиынтықталса, және , онда және қатар барлық үшін жуысады.
then , and the series converges for all .
Қолданбалар
Борел жиынтығы кванттық өріс теориясындағы бұзылыс кеңеюлерінде қолданылады. Атап айтқанда, 2 өлшемді Евклидтік өріс теориясында Швингер функцияларын олардың бұзылыс қатарларын Борел жиынтығы арқылы қолдану арқылы қалпына келтіруге болады. Борел түрлендірілімінің кейбір ерекшеліктері кванттық өріс теориясындағы инстантон және ренормалонмен байланысты.
Жалпылау
Борель қосындысы коэффициенттердің тым тез өспеуін қажет етеді: дәлірек айтқанда, an!C^(n+1) арқылы шектелуі керек, мұнда C – қандай да бір сан. Борель қосындысының бір түрі бар, онда факториалдар n! орнына (kn)! қолданылады, мұнда k – қандай да бір оң бүтін сан. Бұл, кейбір C үшін (kn)!C^(n+1) арқылы шектелген тізбектерді қосуға мүмкіндік береді. Бұл жалпылау Миттаг-Леффлер қосындысымен беріледі. Ең жалпы жағдайда Борель қосындысы Нахбин резуммациясымен жалпыланады, ол шектеу функциясы экспоненциалды типтің орнына кез келген жалпы типте (psi типінде) болғанда қолданылады.