Введение

Метод суммирования расходящихся рядов

В математике суммирование Бореля — это метод суммирования расходящихся рядов, предложенный Эмилем Борелем. Он особенно полезен для суммирования расходящихся асимптотических рядов и в некотором смысле даёт наилучшую возможную сумму для таких рядов. Существует несколько вариантов этого метода, которые также называются суммированием Бореля, и его обобщение называется суммированием Миттага-Леффлера.

Метод интегрального суммирования Бореля с аналитическим продолжением

Это аналогично методу суммирования интегралом Бореля, за исключением того, что преобразование Бореля не обязано сходиться для всех t, но сходится к аналитической функции от t вблизи 0, которую можно аналитически продолжить вдоль положительной вещественной оси.

Отношение к другим методам суммирования

("B") является частным случаем суммирования Миттага-Леффлера при α = 1. ("wB") можно рассматривать как предел обобщенного метода суммирования Эйлера ("E", q) в том смысле, что при q → ∞ область сходимости метода ("E", q) стремится к области сходимости метода ("B").

Теоремы уникальности

Всегда существует множество различных функций, соответствующих любому заданному асимптотическому разложению. Однако иногда существует оптимальная функция, в том смысле, что ошибки в конечномерных приближениях минимальны в некоторой области. Теорема Уотсона и теорема Карлемана показывают, что суммирование Бореля дает такую оптимальную сумму ряда.

Теорема Карлемана

Теорема Карлемана показывает, что функция однозначно определяется асимптотическим рядом в секторе, при условии, что ошибки в приближениях конечного порядка не растут слишком быстро. Более точно, она утверждает, что если f аналитична внутри сектора Re(z) > 0 и в этой области для всех n, то f равна нулю, если ряд 1/b₀ + 1/b₁ + … расходится. Теорема Карлемана предоставляет метод суммирования для любого асимптотического ряда, члены которого не растут слишком быстро, поскольку сумма может быть определена как единственная функция, имеющая этот асимптотический ряд в подходящем секторе, если таковой существует. Суммирование Бореля немного слабее, чем частный случай этой теоремы, когда bₙ = cₙ = 1 для некоторой константы c. В более общем виде можно определить методы суммирования, немного более сильные, чем суммирование Бореля, выбирая числа bₙ немного большими, например, bₙ = cₙ log n или bₙ = cₙ log n log log n. На практике это обобщение мало применимо, поскольку почти нет естественных примеров рядов, суммируемых этим методом, которые нельзя было бы суммировать методом Бореля.

Пример

Функция f(z) = exp(-1/z) имеет асимптотический ряд 0 + 0z + ... с оценкой погрешности в форме, указанной выше, в области для любого , но не представляется суммой Бореля своего асимптотического ряда. Это показывает, что число в теореме Уотсона нельзя заменить на какое-либо меньшее число (если только не уменьшить оценку погрешности).

Сопоставимость на аккордах

Если формальный ряд A(z) суммируем по Борелю в точке z0 ∈ ℂ, то он также суммируем по Борелю во всех точках на хорде Oz0, соединяющей z0 с началом координат. Более того, существует функция a(z), аналитическая во всем круге с радиусом |z0|, такая что

для всех z = θz0, θ ∈ [0,1]. Непосредственным следствием является то, что область сходимости суммы Бореля является звездной областью в ℂ. О домене сходимости суммы Бореля можно сказать больше, чем просто то, что это звездная область; этот домен называется многоугольником Бореля и определяется сингулярностями ряда A(z).

Борельский полигон

Предположим, что A(z) имеет строго положительный радиус сходимости, так что она аналитична в нетривиальной области, содержащей начало координат, и пусть SA обозначает множество сингулярностей A. Это означает, что P ∈ SA тогда и только тогда, когда A можно аналитически продолжить вдоль открытой хорды от 0 до P, но не до самой P. Для P ∈ SA, пусть LP обозначает прямую, проходящую через P, перпендикулярную хорде OP. Определим множества – множество точек, лежащих на той же стороне от LP, что и начало координат. Борелев многоугольник A – это множество. Альтернативное определение было использовано Борелем и Фрагменом. Пусть обозначает наибольшую звездную область, на которой существует аналитическое продолжение A, тогда является наибольшим подмножеством , таким что для всех внутренность круга с диаметром OP содержится в. Называть множество многоугольником несколько неточно, поскольку множество необязательно должно быть многоугольным; однако, если A(z) имеет лишь конечное число сингулярностей, то действительно будет многоугольником. Следующая теорема, принадлежащая Борелю и Фрагмену, предоставляет критерии сходимости для суммирования Бореля. Теорема Ряд A(z) ('B')-суммируем во всех , и ('B')-расходится во всех. Обратите внимание, что ('B')-суммируемость для зависит от природы точки.

Пример 1

Пусть ωi ∈ 'C' обозначает m-й корень из единицы, где i = 1, ..., m, и рассмотрим

который сходится на B(0,1) ⊂ 'C'. Рассматривая A(z) как функцию на 'C', можно увидеть, что она имеет сингулярности в , и, следовательно, борелевский многоугольник задается правильным m-угольником, центрированным в начале координат, таким образом, что 1 ∈ 'C' является серединой одной из сторон.

Теорема Таубера

Теорема Таубера предоставляет условия, при которых сходимость одного метода суммирования влечет сходимость по другому методу. Основная теорема Таубера для суммирования Бореля предоставляет условия, при которых слабый метод Бореля влечет сходимость ряда. Теорема: Если A суммируем по методу ('wB') в точке z0 ∈ 'C', и

, то , и ряд сходится для всех .

Приложения

Борельская сумма находит применение в рядах возмущений в квантовой теории поля. В частности, в двухмерной евклидовой теории поля функции Швингера часто можно восстановить из своих рядов возмущений, используя суммирование по Борелю. Некоторые из сингулярностей преобразования Бореля связаны с инстантонами и перенормонами в квантовой теории поля.

Обобщения

Борельское суммирование требует, чтобы коэффициенты не росли слишком быстро: точнее, |aₙ| должно быть ограничено как n!C^(n+1) для некоторого C. Существует вариант Борельского суммирования, в котором факториалы n! заменяются на (kn)! для некоторого положительного целого k, что позволяет суммировать некоторые ряды, коэффициенты которых ограничены (kn)!C^(n+1) для некоторого C. Это обобщение известно как суммирование Миттага-Леффлера. В наиболее общем случае суммирование Бореля обобщается резуммацией Нахбина, которая может быть использована, когда ограничивающая функция имеет общий тип (пси-тип), а не экспоненциальный тип.