Кіріспе
Геометриялық теорема үшбұрышты екі бөлікке бөлетін екі кесіндінің ұзындығын байланыстырады. Геометрияда бұрыш бөлішкесі теоремасы үшбұрыштың қабырғасын қарсы жатқан бұрышты бөлетін түзумен екі кесіндіге қалай бөлінетінін қарастырады. Ол осы кесінділердің ұзындықтарының қатынасын үшбұрыштың қалған екі қабырғасының ұзындықтарының қатынасына теңестіреді.
In geometry, the angle bisector theorem is concerned with the relative lengths of the two segments that a triangle's side is divided into by a line that bisects the opposite angle. It equates their relative lengths to the relative lengths of the other two sides of the triangle.
Дәлелдендіру
Бұрыш бисектрисасының теоремасын дәлелдеудің көптеген әртүрлі тәсілдері бар. Олардың бірнешеуі төменде келтірілген.
Ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеу
Қоса берілген анимацияда көрсетілгендей, теореманы ұқсас үшбұрыштарды қолдану арқылы дәлелдеуге болады. Мұнда суреттелген нұсқада үшбұрыш бұрыш биссектрисасына перпендикуляр түзудің бойымен кері шегеді, нәтижесінде биссектрисасы бар үшбұрыш пайда болады. Биссектриса арқылы бөлінген бұрыштар тең болғандықтан, және түзулер болады. Бұл ұқсас үшбұрыш құруға мүмкіндік береді. Ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының арақатынасы тең болғандықтан, мынадан шығады. Алайда, түзуі түзуінің кері шегілісі ретінде құрылған, сондықтан осы екі түзудің ұзындығы тең. Демек, , теоремада айтылған нәтижеге әкеледі.
Тарих
Бұрыш бисектрисасының теоремасы Евклидтің "Элементтер" кітабының VI кітабындағы 3-теорема ретінде келтіріледі. Роберт Симсон, бұл теоремаға қатысты сыртқы бұрыш бисектрисасы үшін сәйкес мәлімдемені берген, ал Паппус бұл нәтижені дәлелсіз пайдаланғанын атап өткен. Хит, Огастус Де Морганның екі мәлімдемені келесідей біріктіруді ұсынғанын айтады: Егер үшбұрыштың бір бұрышы түзу сызықпен ішкі немесе сыртқы бисектрисаға бөлінсе және ол сызық қарсы жақты немесе оның кеңейтілгенін кесіп өтсе, онда осы жақтың бөліктері үшбұрыштың қалған жақтарымен пропорционалды болады; сондай-ақ, егер үшбұрыштың бір жағы ішкі немесе сыртқы бөліктерге бөлінгенде, осы бөліктерінің арақатынасы үшбұрыштың қалған жақтарымен тең болса, онда бөлу нүктесінен бастап, алғашқы жаққа қарсы жатқан бұрыштық нүктеге жүргізілген түзу сызық сол бұрыштық нүктедегі ішкі немесе сыртқы бұрышты бисектрисаға бөледі.
If an angle of a triangle is bisected internally or externally by a straight line which cuts the opposite side or the opposite side produced, the segments of that side will have the same ratio as the other sides of the triangle; and, if a side of a triangle be divided internally or externally so that its segments have the same ratio as the other sides of the triangle, the straight line drawn from the point of section to the angular point which is opposite to the first mentioned side will bisect the interior or exterior angle at that angular point.