Введение

Геометрическая теорема, связывающая длины двух отрезков, на которые треугольник делится.

В геометрии теорема о биссектрисе угла устанавливает связь между относительными длинами двух отрезков, на которые сторона треугольника разделяется линией, делящей противоположный угол. Она утверждает, что эти относительные длины равны относительным длинам двух других сторон треугольника.

Доказательства

Существует множество различных способов доказательства теоремы о биссектрисе угла. Некоторые из них показаны ниже.

Доказательство с использованием похожих треугольников

Как показано в сопровождающей анимации, теорему можно доказать, используя подобные треугольники. В представленной версии треугольник отражается относительно прямой, перпендикулярной биссектрисе угла, в результате чего получается треугольник с биссектрисой. Тот факт, что биссектриса образует равные углы и , означает, что и являются прямой линией. Это позволяет построить треугольник, подобный треугольнику . Поскольку отношения между соответствующими сторонами подобных треугольников равны, следует, что . Однако, было построено как отражение прямой , и, следовательно, эти две линии имеют одинаковую длину. Таким образом, , что и является результатом, утверждаемым теоремой.

История

Теорема о бисекторисе угла представлена как предложение 3 книги VI в «Началах» Евклида. Согласно [источнику], соответствующее утверждение для бисекторисы внешнего угла было дано Робертом Симсоном, который отметил, что Папп использовал этот результат без доказательства. Хит далее сообщает, что Август Де Морган предложил объединить эти два утверждения следующим образом:
Если угол треугольника делится внутренне или внешне прямой линией, пересекающей противоположную сторону или её продолжение, то отрезки этой стороны будут относиться друг к другу как другие стороны треугольника; и, если сторона треугольника делится внутренне или внешне в таком отношении, в каком находятся другие стороны треугольника, то прямая, проведенная от точки деления к вершине, противолежащей первой упомянутой стороне, будет являться биссектрисой внутреннего или внешнего угла при этой вершине.