Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кешенді талдауда Миттаг-Леффлер теоремасы белгіленген полюстері бар мероморфтық функциялардың болуына қатысты. Керісінше, оны пайдаланып кез келген мероморфтық функцияны қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады. Бұл теорема Вейерштрасс факторизация теоремасымен туыс, ол белгіленген нөлдері бар голоморфтық функциялардың бар екенін көрсетеді. Теорема швед математигі Гёста Миттаг-Леффлердің құрметіне аталған, ол осы теореманың нұсқаларын 1876 және 1884 жылдары жариялаған.
In complex analysis, Mittag Leffler's theorem concerns the existence of meromorphic functions with prescribed poles. Conversely, it can be used to express any meromorphic function as a sum of partial fractions. It is sister to the Weierstrass factorization theorem, which asserts existence of holomorphic functions with prescribed zeros. The theorem is named after the Swedish mathematician Gösta Mittag Leffler who published versions of the theorem in 1876 and 1884.
Теорема
Ашық жиын болсын және оның шекті нүктелері, егер болса, жиегінде жататын ішкі жиын болсын. Әрбір үшін , тұрақты мүшесі жоқ, яғни келесі формадағы көпмүшелік болсын:
Let be an open set in and be a subset whose limit points, if any, occur on the boundary of For each in , let be a polynomial in without constant coefficient, i. e. of the form
Содан кейін, полюстері дәл осы жиынның элементтеріне сай келетін, жиекте мероморфтық функция бар, және әрбір осындай полюс үшін функция тек алынатын ерекшелікке ие; атап айтқанда, функцияның полюсіндегі негізгі бөлігі нөлге тең. Сонымен қатар, осы қасиеттерге ие кез келген басқа мероморфтық функцияны , мұндағы – жиектегі кез келген голоморфтық функция арқылы алуға болады.
Then there exists a meromorphic function on whose poles are precisely the elements of and such that for each such pole , the function has only a removable singularity at ; in particular, the principal part of at is Furthermore, any other meromorphic function on with these properties can be obtained as , where is an arbitrary holomorphic function on .
Сынақ эскизі
Мүмкін дәлелдің жоспары былай болуы мүмкін. Егер жиынтық шекті болса, онда жеткілікті. Егер жиынтық шекті болмаса, онда шекті қосындыны қарастырайық, мұнда F – жиынтықтың шекті ішкі жиыны. F жиынтығы E-ге жақындағанда қосынды жиналмауы мүмкін, бірақ Runge теоремасымен қамтамасыз етілген, полюстері F жиынтығының сыртында жатқан, дұрыс таңдалған рационалды функцияларды (негізгі бөліктерін өзгертпей) алып тастау арқылы жинақтылықты қамтамасыз етуге болады.
One possible proof outline is as follows. If is finite, it suffices to take If is not finite, consider the finite sum where is a finite subset of While the may not converge as F approaches E, one may subtract well chosen rational functions with poles outside of (provided by Runge's theorem) without changing the principal parts of the and in such a way that convergence is guaranteed.
Мысал
Барлығы оң бүтін сандардағы 1 қалдықты қарапайым полюстермен мероморфтық функцияны алуды жоспарлап отырмыз делік. Жоғарыда келтірілген белгілеулерді пайдаланып, мынаны жазамыз:
Suppose that we desire a meromorphic function with simple poles of residue 1 at all positive integers. With notation as above, letting
және , онда Миттаг-Леффлер теоремасы әрбір оң бүтін сан үшін нүктесіндегі бас бөлігі болатын мероморфтық функцияның бар екенін күәландырады. Көбірек құрылымдық тұрғыдан алғанда, мынаны жасай аламыз:
and , Mittag Leffler's theorem asserts the existence of a meromorphic function with principal part at for each positive integer More constructively we can let
Бұл қатар кез келген компакт жиынтықта қалыпты түрде жинақталады (М-тест арқылы көрсетілгендей) және қажетті қасиеттері бар мероморфтық функцияға айналады.
This series converges normally on any compact subset of (as can be shown using the M test) to a meromorphic function with the desired properties.