Введение

В комплексном анализе теорема Миттага-Леффлера касается существования мероморфных функций с заданными полюсами. Обратно, её можно использовать для представления любой мероморфной функции в виде суммы простейших дробей. Она тесно связана с теоремой факторизации Вейерштрасса, утверждающей существование голоморфных функций с заданными нулями. Теорема названа в честь шведского математика Гёсты Миттага-Леффлера, который опубликовал различные варианты теоремы в 1876 и 1884 годах.

Теорема

Пусть будет открытым множеством в и подмножеством, чьи предельные точки, если таковые имеются, лежат на границе . Для каждого из , пусть — многочлен относительно без свободного члена, то есть вида

Тогда существует мероморфная функция на , полюсы которой — это точно элементы и такая, что для каждого такого полюса функция имеет лишь устранимую особую точку в ; в частности, главная часть в равна . Более того, любая другая мероморфная функция на с этими свойствами может быть получена как , где — произвольная голоморфная функция на .

Эскиз испытания

Один из возможных планов доказательства следующий. Если множество конечно, достаточно взять Если множество бесконечно, рассмотрим конечную сумму где является конечным подмножеством множества. Хотя предел суммы может не существовать при стремлении F к E, можно вычесть хорошо подобранные рациональные функции с полюсами вне множества E (существование которых гарантируется теоремой Рунге), не изменяя главных частей подынтегральных функций и обеспечивая сходимость.

Пример

Предположим, что нам требуется мероморфная функция с простыми полюсами с вычетом 1 во всех положительных целых числах. При обозначениях, как выше, полагая

и , теорема Миттага-Леффлера утверждает существование мероморфной функции с главной частью при каждом положительном целом числе. Более конструктивно, мы можем взять

Этот ряд сходится нормально на любом компактном подмножестве (что можно показать, используя M-критерий) к мероморфной функции с требуемыми свойствами.