Кіріспе
Математикада күрделі дифференциалдық форма — күрделі коэффициенттерге ие болуы мүмкін дифференциалдық форма. Күрделі формалар дифференциалдық геометрияда кеңінен қолданылады. Күрделі көптүрліліктерде олар негізгі болып табылады және алгебралық геометрия, Кэхлер геометриясы және Ходж теориясының құрылымдық тасын құрайды. Күрделі емес көптүрліліктерде олар дерлік күрделі құрылымдарды зерттеуде, спиннерлер теориясында және CR құрылымдарында да маңызды рөл атқарады. Күрделі формалар әдетте формалардың қабылдайтын белгілі бір ыдырауының болуына байланысты қарастырылады. Мысалы, күрделі көптүрлілікте кез келген күрделі k форманы (p, q) формаларының қосындысына бірегей түрде жіктеуге болады: шамамен, голоморфты координаттардың p дифференциалдарының сыртқы көбейтінділері олардың күрделі конъюгаттарының q дифференциалдарымен. (p, q) формаларының жиынтығы зерттеудің бастапқы нысанына айналады және k формаларына қарағанда көптүрліліктің неғұрлым нәзік геометриялық құрылымын анықтайды. Ходж теориясы қолданылатын жағдайларда, мысалы, одан да нәзік құрылымдар бар.
In mathematics, a complex differential form is a differential form on a manifold (usually a complex manifold) which is permitted to have complex coefficients. Complex forms have broad applications in differential geometry. On complex manifolds, they are fundamental and serve as the basis for much of algebraic geometry, Kähler geometry, and Hodge theory. Over non complex manifolds, they also play a role in the study of almost complex structures, the theory of spinors, and CR structures. Typically, complex forms are considered because of some desirable decomposition that the forms admit. On a complex manifold, for instance, any complex k form can be decomposed uniquely into a sum of so called (p, q) forms: roughly, wedges of p differentials of the holomorphic coordinates with q differentials of their complex conjugates. The ensemble of (p, q) forms becomes the primitive object of study, and determines a finer geometrical structure on the manifold than the k forms. Even finer structures exist, for example, in cases where Hodge theory applies.
Күрделі көпқабаттағы дифференциалдық нысандар
M – күрделі өлшемділігі n болатын күрделі көптік деп есептейік. Онда z1, …, zn күрделі мәнді функцияларынан тұратын жергілікті координаттар жүйесі бар, мұнда координаттардың бір жапсырмадан екіншісіне өтуі осы айнымалылардың голоморфтық функциялары болып табылады. Күрделі формалар кеңістігі бай құрылымға ие, бұл негізінен ауысу функцияларының жай ғана тегіс емес, голоморфты болуымен байланысты.
Голоморфты нысандар
Әрбір p үшін голоморфты p-форма – Ωp,0 бунделинің голоморфты қимасы. Жергілікті координаттарда голоморфты p-форманы мына түрде жазуға болады:
мұндағы – голоморфты функциялар. Балама түрінде, және комплекс қосымшаның тәуелсіздігіне байланысты, (p, 0) формасы α голоморфты болады, егер және тек қана егер.
Голоморфты p-формалардың шоғы жиі Ωp деп жазылады, бірақ бұл кейде жаңылысқандыққа әкелуі мүмкін, сондықтан көптеген авторлар басқаша белгілеуді қолдануға бейім.