Введение
Дифференциальная форма на многообразии, допускающая комплексные коэффициенты. В математике, комплексная дифференциальная форма — это дифференциальная форма на многообразии (обычно комплексном многообразии), допускающая комплексные коэффициенты. Комплексные формы имеют широкое применение в дифференциальной геометрии. На комплексных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для значительной части алгебраической геометрии, кэлеровой геометрии и теории Ходжа. На некомплексных многообразиях они также играют роль в изучении почти комплексных структур, теории спиноров и CR-структур. Обычно комплексные формы рассматриваются из-за некоторого желательного разложения, которое эти формы допускают. Например, на комплексном многообразии любая комплексная k-форма может быть единственным образом разложена в сумму так называемых (p, q)-форм: грубо говоря, внешних произведений p дифференциалов голоморфных координат на q дифференциалов их комплексных сопряжённых. Совокупность (p, q)-форм становится основным объектом изучения и определяет более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k-формы. Существуют ещё более тонкие структуры, например, в случаях, когда применима теория Ходжа.
In mathematics, a complex differential form is a differential form on a manifold (usually a complex manifold) which is permitted to have complex coefficients. Complex forms have broad applications in differential geometry. On complex manifolds, they are fundamental and serve as the basis for much of algebraic geometry, Kähler geometry, and Hodge theory. Over non complex manifolds, they also play a role in the study of almost complex structures, the theory of spinors, and CR structures. Typically, complex forms are considered because of some desirable decomposition that the forms admit. On a complex manifold, for instance, any complex k form can be decomposed uniquely into a sum of so called (p, q) forms: roughly, wedges of p differentials of the holomorphic coordinates with q differentials of their complex conjugates. The ensemble of (p, q) forms becomes the primitive object of study, and determines a finer geometrical structure on the manifold than the k forms. Even finer structures exist, for example, in cases where Hodge theory applies.
Дифференциальные формы на сложном разнообразии
Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n. Тогда существует локальная система координат, состоящая из n комплекснозначных функций z₁, …, zn, таких, что переходы координат из одной окрестности в другую являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм обладает богатой структурой, принципиально зависящей от того, что эти функции перехода голоморфны, а не просто гладки.
Голоморфные формы
Для каждого p, голоморфная p-форма — это голоморфный сечение пучка Ωp,0. В локальных координатах голоморфную p-форму можно записать в виде
где — голоморфные функции. Эквивалентно, и в силу независимости комплексного сопряжения, (p, 0)-форма α является голоморфной тогда и только тогда, если
Пучок голоморфных p-форм часто обозначается Ωp, однако это иногда может приводить к путанице, поэтому многие авторы предпочитают использовать альтернальную нотацию.