Кіріспе
Үздіксіз емес нүктелердің математикалық талдауы
Үздіксіз функциялар математикада, функциялар және қолдануларда ең маңызды болып табылады. Дегенмен, барлық функциялар үздіксіз емес. Егер функция өзінің анықталу облысындағы нүктеде үздіксіз болмаса, онда оның сол нүктеде үздіксіздігі бар деп айтылады. Функцияның барлық үздіксіздік нүктелерінің жиынтығы дискретті жиынтық, тығыз жиынтық немесе тіпті функцияның бүкіл анықталу облысы болуы мүмкін. Функцияның бір нүктедегі тербелісі осы үздіксіздіктерді былай сипаттайды: алынып тасталатын үздіксіздікте, функцияның мәнінің қателігіндегі қашықтық тербеліс болып табылады; секіріп өтетін үздіксіздікте, секірудің мөлшері тербеліс болып табылады (егер нүктедегі мән екі жақтың шектері арасында болса); маңызды үздіксіздікте, тербеліс лимит болмауының шамасын көрсетеді; лимит тұрақты. Функцияның плюс немесе минус шексіздікке ұмтылуы ерекше жағдай, онда тербеліс анықталмайды (кеңейтілген нақты сандарда бұл алынып тасталатын үздіксіздік болып табылады).
in a removable discontinuity, the distance that the value of the function is off by is the oscillation;
in a jump discontinuity, the size of the jump is the oscillation (assuming that the value at the point lies between these limits of the two sides);
in an essential discontinuity, oscillation measures the failure of a limit to exist; the limit is constant. A special case is if the function diverges to infinity or minus infinity, in which case the oscillation is not defined (in the extended real numbers, this is a removable discontinuity).
Жіктеу
Келесілердің әрқайсысы үшін, берілген нүктеде үздіксіз емес болатын, нақты айнымалының нақты мәнді функциясын, сол нүктенің маңында анықталған күйін қарастырыңыз.
Функцияның үздіксіздігін есептеу
Әдебиетте жинақтың келесі екі қасиеті маңызды. "Көптің көптігі" - көп жиын. Функцияның үздіксіз болатын нүктелер жиыны әрқашан жиын болып табылады (қараңыз). Егер [a, b] аралығындағы функция монотонды болса, онда жиыны ең көп саналатын және бұл Фрода теоремасы. Том Апостол жоғарыдағы жіктемені ішінара қолданып, тек алынып тасталатын және секірістік үздіксіздіктерді қарастырады. Оның мақсаты – монотонды функциялардың үздіксіздіктерін зерттеу, негізінен Фрода теоремасын дәлелдеу. Осы мақсатта Уолтер Рудин және Карл Р. Стромберг әртүрлі терминологияларды қолдана отырып, алынып тасталатын және секірістік үздіксіздіктерді де зерттейді. Алайда, одан әрі екі автор да жиыны әрқашан саналатын жиын екенін көрсетеді (қараңыз). "Маңызды үздіксіздік" термині математикалық контексте 1889 жылға дейін қолданылғанын көрсетеді. Алайда, терминнің математикалық анықтамасымен бірге алғашқы қолданылуы Джон Клипперттің еңбегінде берілген сияқты. Онда Клипперт маңызды үздіксіздіктердің өзін жіктеді, жинақты келесі үш жиынға бөліп:
Әрине, кез келген уақытта бірінші түрдегі маңызды үздіксіздік деп аталады. Кез келген екінші түрдегі маңызды үздіксіздік деп аталады. Осылайша, ол жинақтың санауға болатын қасиетін жоғалтпай кеңейтеді, келесіні мәлімдейді:
Жиын саналатын.