Введение

Математический анализ точек разрыва

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике, функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в точке из своей области определения, говорят, что в этой точке у неё есть разрыв. Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным множеством, плотным множеством или даже всей областью определения функции. Колебание функции в точке количественно характеризует эти разрывы следующим образом:
при устранимом разрыве колебанием является расстояние, на которое значение функции отличается от предела;
при скачкообразном разрыве колебанием является величина скачка (при условии, что значение в точке лежит между этими пределами с обеих сторон);
при существенном разрыве колебание измеряет отсутствие предела; предел не существует. Особый случай – когда функция стремится к бесконечности или минус бесконечности, в этом случае колебание не определено (в расширенной системе вещественных чисел это устранимый разрыв).

Классификация

Для каждого из следующих случаев рассмотрите вещественнозначную функцию вещественной переменной, определенную в окрестности точки, в которой функция терпит разрыв.

Подсчет неразрывностей функции

Следующие два свойства множества актуальны в литературе. Множество является счетным множеством. Множество точек, в которых функция непрерывна, всегда является счетным множеством (см.). Если на интервале монотонна, то она счетна и это теорема Фроды. Том Апостол частично следует вышеуказанной классификации, рассматривая только устранимые и скачкообразные разрывы. Его цель – изучение разрывов монотонных функций, главным образом для доказательства теоремы Фроды. С той же целью Уолтер Рудин и Карл Р. Стромберг также изучают устранимые и скачкообразные разрывы, используя различную терминологию. Однако, далее оба автора утверждают, что всегда является счетным множеством (см.). Термин «существенный разрыв» имеет свидетельства использования в математическом контексте еще в 1889 году. Однако, наиболее раннее использование термина вместе с математическим определением, по-видимому, было дано в работе Джона Клипперта. В ней Клипперт также классифицировал существенные разрывы, разделив множество на три следующих множества:

Очевидно, когда называется существенным разрывом первого рода. Любой называется существенным разрывом второго рода. Таким образом, он расширяет множество, не теряя его свойства счетности, утверждая следующее:

Множество счетно.