Манифольдтардағы есептеулер: Жоғары деңгейлі есептеулердің классикалық теоремаларына қазіргі тақырыптамалық көзқарас
Calculus on Manifolds (book)
Математикалық талдау: Майкл Спивак кітабы – жоғары деңгейдегі есептеулер, дифференциалдық формалар, интегралдау туралы қазақша оқулық. Теоремалар, мысалдар бар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Майкл Спивактың "Көптүрліліктердегі есептеу: Жоғары деңгейдегі есептеудің классикалық теоремаларына қазіргі заманғы көзқарас" (1965) кітабы – жоғары сынып студенттері үшін арналған көпөлшемді есептеу, дифференциалдық формалар және көптүрліліктерде интегралдау бойынша қысқа, қатаң және заманауи оқулық.
Book by Michael Spivak
Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (1965) by Michael Spivak is a brief, rigorous, and modern textbook of multivariable calculus, differential forms, and integration on manifolds for advanced undergraduates.
Сипаттама
Манифолдтар бойынша есептеу – бірнеше нақты айнымалылардың (f: Rn→Rm) векторлық функциялары теориясы және Евклид кеңістігіндегі дифференциалданатын манифолдтар туралы қысқаша монография. Кітапта дифференциациялау (кері және жасырын функция теоремаларын қоса) және Риман интегралдау (Фубини теоремасын қоса) ұғымдары бірнеше айнымалы функцияларына кеңейтіледі, сондай-ақ векторлық есептеудің классикалық теоремалары – Коши-Грин, Остроградский-Гаусс (дивергенция теоремасы) және Кельвин-Стокс теоремалары Евклид кеңістігіне енгізілген дифференциалданатын манифолдтардағы дифференциалдық формалар тілінде қарастырылады және шекарасы бар манифолдтардағы жалпыланған Стокс теоремасының салдары ретінде беріледі. Кітап бірнеше классикалық нәтижелердің осы ауқымды және абстрактілі заманауи жалпылауының тұжырымын және дәлелдемесімен аяқталады: "Манифолдтар бойынша есептеу" кітабының мұқабасында Лорд Кельвиннің сэр Джордж Стоксқа 1850 жылғы 2 шілдеде жазған хатынан үзінділер келтірілген, онда классикалық Стокс теоремасының (яғни Кельвин-Стокс теоремасының) алғашқы ашылуы қамтылған.
Calculus on Manifolds is a brief monograph on the theory of vector valued functions of several real variables (f : Rn→Rm) and differentiable manifolds in Euclidean space. In addition to extending the concepts of differentiation (including the inverse and implicit function theorems) and Riemann integration (including Fubini's theorem) to functions of several variables, the book treats the classical theorems of vector calculus, including those of Cauchy–Green, Ostrogradsky–Gauss (divergence theorem), and Kelvin–Stokes, in the language of differential forms on differentiable manifolds embedded in Euclidean space, and as corollaries of the generalized Stokes theorem on manifolds with boundary. The book culminates with the statement and proof of this vast and abstract modern generalization of several classical results:
The cover of Calculus on Manifolds features snippets of a July 2, 1850 letter from Lord Kelvin to Sir George Stokes containing the first disclosure of the classical Stokes' theorem (i. e., the Kelvin–Stokes theorem).
Қабылдау
Манифолдтар бойынша есептеудің мақсаты – көп өзгермелі және векторлық есептеу тақырыптарын қазіргі заманғы математик көретіндей етіп, бірақ математикадағы бұрынғы курстары тек бір өзгермелі есептеу және кіріспе сызықтық алгебраны қамтитын бакалавриат студенттеріне түсінікті болуы үшін жеткілікті қарапайым және таңдаулы түрде ұсыну. Спивактің қазіргі заманғы математикалық құралдарды қарастыруы жалпы алғанда сәтті болды – және осы тәсіл «Манифолдтар бойынша есептеуді» көп өзгермелі есептеудің қатаң теориясына стандартты кіріспе етті. Алайда, мәтін лаконикалық стилімен, ынталандыратын мысалдардың жетіспеуімен және түсініксіз қадамдар мен дәлелдерді жиі жіберіп тастауымен де белгілі. Мысалы, тізбектер бойынша жалпыланған Стокстің теоремасын тұжырымдау және дәлелдеу үшін, көптеген беймәлім ұғымдар мен құрылымдар (мысалы, тензорлық көбейтінділер, дифференциалдық формалар, жанама кеңістіктер, кері тартылымдар, сыртқы туындылар, кубтар және тізбектер) 25 бет ішінде жылдам түрде енгізіледі. Сонымен қатар, мұқият оқырмандар мәтіндегі бірқатар маңызды кемшіліктерді атап өтті, оның ішінде теоремалардағы жоқ гипотезалар, қате тұжырымдалған теоремалар және барлық жағдайларды қамти алмайтын дәлелдемелер.
Calculus on Manifolds aims to present the topics of multivariable and vector calculus in the manner in which they are seen by a modern working mathematician, yet simply and selectively enough to be understood by undergraduate students whose previous coursework in mathematics comprises only one variable calculus and introductory linear algebra. While Spivak's elementary treatment of modern mathematical tools is broadly successful—and this approach has made Calculus on Manifolds a standard introduction to the rigorous theory of multivariable calculus—the text is also well known for its laconic style, lack of motivating examples, and frequent omission of non obvious steps and arguments. For example, in order to state and prove the generalized Stokes' theorem on chains, a profusion of unfamiliar concepts and constructions (e. g., tensor products, differential forms, tangent spaces, pullbacks, exterior derivatives, cube and chains) are introduced in quick succession within the span of 25 pages. Moreover, careful readers have noted a number of nontrivial oversights throughout the text, including missing hypotheses in theorems, inaccurately stated theorems, and proofs that fail to handle all cases.
Басқа оқулықтар
Осы тақырыптарды бакалавриат деңгейінде де қамтитын жақында жарық көрген оқулық – Джеймс Мункрестің «Манифолдтардағы анализ» (366 б.) кітабы. «Манифолдтардағы есептеуден» екі еседен астам ұзын болғандықтан, Мункрестің еңбегі тақырыпты тыныш темппен, мұқият және толыққанды қарастырады. Дегенмен, Мункрес «Манифолдтардағы анализ» кітабының алғы сөзінде Спивактің бұрынғы еңбегінің әсерін мойындайды. Спивактің бес томдық оқулығы «Дифференциалдық геометрияға толық кіріспе» кітабының алғы сөзінде, осы мәтінге негізделген курс үшін «Манифолдтардағы есептеу» алғышарт болып табылады деп көрсетеді. Шындығында, «Манифолдтардағы есептеу» кітабында ұсынылған бірнеше түсініктер осы классикалық еңбектің бірінші томында күрделірек контексте қайтадан қолданылады.
A more recent textbook which also covers these topics at an undergraduate level is the text Analysis on Manifolds by James Munkres (366 pp.). At more than twice the length of Calculus on Manifolds, Munkres's work presents a more careful and detailed treatment of the subject matter at a leisurely pace. Nevertheless, Munkres acknowledges the influence of Spivak's earlier text in the preface of Analysis on Manifolds. Spivak's five volume textbook A Comprehensive Introduction to Differential Geometry states in its preface that Calculus on Manifolds serves as a prerequisite for a course based on this text. In fact, several of the concepts introduced in Calculus on Manifolds reappear in the first volume of this classic work in more sophisticated settings.