Введение

Книга Майкла Спивака «Математический анализ на многообразиях: современный подход к классическим теоремам высшего математического анализа» (1965) — это краткий, строгий и современный учебник многомерного исчисления, дифференциальных форм и интегрирования на многообразиях для студентов старших курсов.

Описание

Calculus on Manifolds – краткая монография, посвященная теории векторнозначных функций нескольких вещественных переменных (f : Rn→Rm) и дифференцируемых многообразий в евклидовом пространстве. Помимо расширения понятий дифференцирования (включая теоремы об обратной и неявной функциях) и интегрирования Римана (включая теорему Фубини) на функции нескольких переменных, в книге рассматриваются классические теоремы векторного анализа, включая теоремы Коши – Грина, Остроградского – Гаусса (теорема о дивергенции) и Кельвина – Стокса, сформулированные на языке дифференциальных форм на дифференцируемых многообразиях, погруженных в евклидово пространство, и представленные как следствия обобщенной теоремы Стокса для многообразий с границей. Книга завершается формулировкой и доказательством этого масштабного и абстрактного современного обобщения ряда классических результатов:

На обложке книги Calculus on Manifolds представлены отрывки из письма лорда Кельвина сэру Джорджу Стоксу от 2 июля 1850 года, содержащего первое сообщение о классической теореме Стокса (то есть теореме Кельвина – Стокса).

Прием

Целью книги Calculus on Manifolds является изложение тем многомерного и векторного исчисления в том виде, в котором они представляются современным работающим математиком, но достаточно просто и выборочно, чтобы быть понятным студентам, чья предыдущая подготовка по математике ограничивается исчислением одной переменной и введением в линейную алгебру. Хотя элементарное изложение современных математических инструментов у Спивака в целом оказалось успешным – и благодаря этому Calculus on Manifolds стал стандартным введением в строгое изложение многомерного исчисления – книга также известна своим лаконичным стилем, недостатком мотивационных примеров и частым пропуском неочевидных шагов и аргументов. Например, для формулировки и доказательства обобщенной теоремы Стокса о цепях в течение 25 страниц вводится множество незнакомых понятий и конструкций (таких как тензорные произведения, дифференциальные формы, тангенциальные пространства, индуцированные отображения, внешние производные, кубы и цепи). Более того, внимательные читатели отмечают ряд существенных недочетов в тексте, включая отсутствующие предположения в теоремах, неточно сформулированные теоремы и доказательства, которые не охватывают все возможные случаи.

Другие учебники

Более поздний учебник, который также рассматривает эти темы на уровне бакалавриата, – это книга "Анализ на многообразиях" Джеймса Мункреса (366 с.). Работа Мункреса, более чем вдвое превышающая по объему "Математический анализ на многообразиях", предлагает более аккуратное и детальное изложение материала, не торопясь. Тем не менее, в предисловии к "Анализу на многообразиях" Мункрес признает влияние более ранней работы Спивака. В предисловии к пятитомному учебнику Спивака "Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию" указано, что "Математический анализ на многообразиях" является необходимым условием для курса, основанного на этом тексте. Фактически, ряд концепций, представленных в "Математическом анализе на многообразиях", вновь встречаются в первом томе этой классической работы, но уже в более сложном контексте.