Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда, бағытталған Римандық көпқырлылықтағы (M, g) спин құрылымы, байланысты спинор шоқтарын анықтауға мүмкіндік береді, соның нәтижесінде дифференциалдық геометрияда спинор ұғымы туындайды. Спин құрылымдары математикалық физикада кеңінен қолданылады, әсіресе кванттық өріс теориясында, олар зарядталмаған фермиондарды қамтитын кез келген теорияны анықтау үшін қажетті компонент болып табылады. Олар дифференциалдық геометрия, алгебралық топология және К-теория салаларында да таза математикалық қызығушылық тудырады. Олар спин геометриясының негізін қалайды.
Шолу
Геометрияда және өріс теориясында математиктер берілген бағдарланған Римандық көптүрлілік (M,g) спиндерді қабылдайтынын немесе қабылдамайтынын сұрайды. Бұл мәселені шешудің бір жолы – M спиндік құрылымға ие болуын талап ету. Бұл әрқашан мүмкін емес, себебі спиндік құрылымдардың болуына топологиялық кедергі болуы мүмкін. M-нің екінші Штифель-Уитни класы w2(M) ∈ H2(M, Z2) нөлге тең болса және тек сонда ғана спиндік құрылымдар болады. Сонымен қатар, егер w2(M) = 0 болса, онда M-дегі спиндік құрылымдардың изоморфизм сыныптары жиыны H1(M, Z2) арқылы еркін және транзитивті әрекет етеді. М көптүрлілігі бағытталған деп есептелетіндіктен, M-нің бірінші Штифель-Уитни класы w1(M) ∈ H1(M, Z2) да нөлге тең болады. (Көптүрлілік M-нің Штифель-Уитни кластары wi(M) ∈ Hi(M, Z2) оның жанама бунделінің TM Штифель-Уитни кластары ретінде анықталады.) M үстіндегі спинорлар бунделі πS: S → M, спинорлар кеңістігіндегі оның құрылымдық тобы Spin(n) спиндік өкілдігімен байланысты тиісті негізгі бундель πP: P → M-мен байланысты кешенді векторлық бундель болып табылады. S бунделі M-дегі берілген спиндік құрылым үшін спинор бунделі деп аталады. Көптүрліліктегі спиндік құрылымның нақты анықтамасы тек талшықты бундель ұғымы енгізілгеннен кейін ғана мүмкін болды; Андре Эфлигер (1956) бағытталған Римандық көптүрлілікте спиндік құрылымның болуына топологиялық кедергіні тапты, ал Макс Каруби (1968) бұл нәтижені бағытталмаған псевдо-Римандық жағдайға дейін кеңейтті.
A precise definition of spin structure on manifold was possible only after the notion of fiber bundle had been introduced; André Haefliger (1956) found the topological obstruction to the existence of a spin structure on an orientable Riemannian manifold and Max Karoubi (1968) extended this result to the non orientable pseudo Riemannian case.
Қаттылық
Сонымен қатар, спин жағдайында спин құрылымдарының саны биекциямен байланысты болады. Бұл нәтижелерді байланысты негізгі шоғыр үшін спектрлік тізбек аргументін қолдану арқылы оңай дәлелдеуге болады. Бұл фибрацияны береді, сондықтан Серр спектрлік тізбегі қолданылуы мүмкін. Спектрлік тізбектердің жалпы теориясынан, нақты тізбек бар, онда қосымша және кейбір сүзгілеу үшін , сондықтан біз нақты тізбек беретін бейнелеуді аламыз. Енді, спин құрылымы – бұл коммутативтік диаграммаға кіретін жамылғы, онда екі сол жақ тік бейнелеулер жамылғы бейнелеулері болып табылады. Енді, жамылғылар топтық морфизмдер жиынтығымен биекциядағы , бұл топтық морфизмдер жиынтығымен биекциядағы. Бірақ, Хюревич теоремасы және коэффициенттерді өзгерту бойынша, бұл дәл кохомология тобы. , үшін дәл сол аргумент қолданыла отырып, тривиальды емес жамылғы сәйкес келеді , ал бейнелеуі дәл екінші Штифель–Уитни класының , сондықтан егер ол жоғалып кетсе, онда бейнелеудің астындағы кері бейне спин құрылымдарын беретін жамылғылар жиынтығы болады. Енді, бұл жиынтықтың ішкі жиынымен сәйкестік табуға болады, бұл кохомология тобы векторлық шоғырдың әртүрлі спин құрылымдарын жіктемелейді. Бұл фибрацияның гомотопиялық топтарының ұзын нақты тізбегін қарастыру және оған қолдану арқылы жасауға болады, нәтижесінде кохомологиялық топтар тізбегі шығады. , ядро болғандықтан және кері бейне ядромен биекцияда болғандықтан, біз қажетті нәтижені аламыз.
Сыныпқа жатқызу туралы ескертулер
Спиндік құрылымдар болған кезде, көпқырлыдағы теңдес спиндік құрылымдар H1(M,Z2) элементтерімен бір-бірге сәйкес келеді (канондық емес), ал әмбебап коэффициент теоремасы бойынша бұл H1(M,Z2) -ге изоморфты. Нақтырақ айтқанда, спиндік құрылымдардың изоморфизм кластары кеңістігі H1(M,Z2) үстіндегі аффиндік кеңістік болып табылады. Түсіндіру үшін, M-дегі әрбір тривиалды емес цикл үшін спиндік құрылым SO(N) бундельінің қимасы орама бойымен айналғанда жапырақты ауыстыруға байланысты екі таңдауға сәйкес келеді. Егер w2 нөлге тең болса, онда бұл таңдауларды екілік қаңқаға дейін кеңейтуге болады, содан кейін (кедергі теориясы бойынша) оларды M-нің барлық бөлігіне автоматты түрде кеңейтуге болады. Бөлшек физикасында бұл фермиондардың әрбір цикл бойынша айналуына байланысты периодты немесе антипериодты шекаралық шарттарды таңдауға сәйкес келеді. Ескеріңіз, күрделі көпқырлыда екінші Стифель-Уитни класы бірінші Черн класы ретінде есептеледі.
Мысалдар
G Riemann беті 22g тең емес спиндік құрылымдарға ие; тета сипаттамасын қараңыз. Егер H2(M,Z2) нөлге тең болса, M спинді. Мысалы, Sn барлық жағдайларда спинді (S2 де спинді екенін ескеріңіз, бірақ басқа себептермен; төменде қараңыз). CP2 күрделі проекциялық жазықтығы спинді емес. Жалпы алғанда, CP2n барлық жұп өлшемді күрделі проекциялық кеңістіктер спинді емес. Барлық тақ өлшемді күрделі проекциялық кеңістіктер CP2n+1 спинді. Барлық 3 немесе одан төмен өлшемді, компактты және бағытталған манифольдтар спинді. Барлық Калаби-Яу манифольдтары спинді.
Қасиеттері
Спиндік көптүрліліктің Â туысы – бүтін сан, ал өлшем 8-ге бөлінгенде 4 қалдық берсе, ол жұп сан болады. Жалпы жағдайда, Â туысы – кез келген көптүрлілік үшін анықталатын рационалды инвариант, бірақ ол әдетте бүтін сан болып табылмайды. Бұл алғаш рет Хирцебрух және Борел есімді ғалымдар дәлелдеген, сондай-ақ Атия-Сингер индекс теоремасы арқылы да дәлелдеуге болады, Â туысын Дирак операторының индексі ретінде қарастыру арқылы. Дирак операторы – екінші ретті оператордың квадрат түбірі, ал спиндік құрылымның болуы осы "квадрат түбір" қасиетіне байланысты. Бұл индекс теоремасын дамытуға түрткіс болған маңызды мысал еді.
Қаттылық
Спинк-құрылым, егер топтама бағдарланатын болса және топтаманың екінші Стифел-Уитни класы H2(M, Z) → H2(M, Z/2Z) картасының кескініне түсетін болса, онда болады (яғни, үшінші интегралды Стифел-Уитни класы нөлге тең болады). Мұндай жағдайда E спинC деп аталады. Интуитивті тұрғыдан алғанда, көтеру кез келген алынған спинC топтамасының U(1) бөлігінің квадратының Черн класын анықтайды. Хопф пен Хирцебрух теоремасына сәйкес, жабық бағдарланатын 4-өлшемді кеңістіктер әрқашан спинC құрылымын қабылдай алады.
Жіктеу
Егер көптік спин-С құрылымын қабылдаса, спин-С құрылымының жиынтығы аффиндік кеңістік құрайды. Бұдан әрі, спин-С құрылымының жиынтығына H2(M, Z) еркін транзитивті әрекет етеді. Осылайша, спин-С құрылымдары H2(M, Z) элементтеріне сәйкес келеді, бірақ бұл сәйкестік түсінікті болмайды.
Геометриялық сурет
Бұл Эдвард Виттенге байланысты мынадай геометриялық түсіндірмеге ие. SpinC құрылымы нөлден өзгеше болғанда, бұл квадрат түбірлі бундель интеграл емес Черн класына ие болады, яғни ол үштік қабаттасу шартын орындамайды. Атап айтқанда, үштік қиылыста өту функцияларының көбейтіндісі әрқашан бірге тең болмайды, бұл негізгі бундель үшін қажетті шарт. Ол кейде -1-ге тең болады. Бұл сәтсіздік кедергілі спин бунделинің өту функцияларының үштік көбейтінділеріндегі ұқсас сәтсіздікпен дәл сол қиылыстарда орын алады. Сондықтан, толық SpinC бунделинің өту функцияларының үштік көбейтінділері, яғни спин және U(1) компонент бундельдерінің үштік көбейтінділерінің көбейтінділері, 1 = 1² = 1 немесе 1 = (-1)² = 1 болады, сондықтан SpinC бунделі үштік қабаттасу шартын қанағаттандырады және осылайша заңды бундель болып табылады.
Егжей-тегжейі
Жоғарыдағы интуитивті геометриялық суретті келесідей нақтылауға болады. 0 → Z → Z → Z2 → 0 қысқа дәл тізбесін қарастырайық, онда екінші жебе 2-ге көбейту, ал үшіншісі – 2-ге дейін қысқарту (модуль 2). Бұл кохомология бойынша ұзақ дәл тізбекті тудырады, онда екінші жебе 2-ге көбейту арқылы, үшіншісі модуль 2 бойынша шектеу арқылы және төртіншісі байланысты Бокштейн гомоморфизмі β арқылы индуциралады. Спин бунделінің болуына кедергі – H2(M,Z2) конус кеңістігінің w2 элементі. Бұл әрқашан жергілікті түрде SO(n) бунделін спин бунделіне көтеруге болатындығын көрсетеді, бірақ әрбір өту функциясының Z2 көтеруін таңдау керек, яғни таңбаны таңдау. Егер үштік қиылыстағы осы үш таңбаның көбейтіндісі -1 болса, көтеру мүмкін емес, бұл w2 кохомологиялық суретін береді. Осы кедергіні жою үшін, осы спин бунделін w2 кедергісімен бірдей U(1) бунделімен тенсейміз. Бірақ бұл «бундел» сөзінің дұрыс еместігін ескеру керек, өйткені спин бунделі де, U(1) бунделі де үштік қиылыс шартын қанағаттандырмайды, сондықтан екеуі де нақты бундел емес. Заңды U(1) бунделі оның Черн класы бойынша жіктеледі, ол H2(M,Z) конус кеңістігінің элементі болып табылады. Осы класты жоғарыдағы дәл тізбектегі бірінші элементпен сәйкестендіріңіз. Келесі жебе осы Черн класын екі есе көбейтеді, сондықтан заңды бунделдер екінші H2(M,Z) конус кеңістігіндегі жұп элементтерге сәйкес келеді, ал тақ элементтер үштік қиылыс шартын орындамайтын бунделдерге сәйкес келеді. Олай болса, кедергі екінші H2(M,Z) конус кеңістігіндегі элементтің жебе кескінінде болмауымен жіктеледі, дәлдік бойынша, ол келесі жебе астындағы H2(M,Z2) конус кеңістігінің кескінімен жіктеледі. Спин бунделіндегі сәйкес кедергіні жою үшін, осы кескін w2-ге тең болуы керек. Атап айтқанда, егер w2 жебе кескінінде болмаса, онда w2 кедергісімен тең U(1) бунделі жоқ, сондықтан кедергі жойыла алмайды. Дәлдік бойынша, w2 тек алдыңғы жебе кескінінде болса ғана, келесі жебе ядросында болады, оны Бокштейн гомоморфизмі β деп есімізде сақтаймыз. Яғни, кедергіні жою шарты:
where the second arrow is induced by multiplication by 2, the third is induced by restriction modulo 2 and the fourth is the associated Bockstein homomorphism β. The obstruction to the existence of a spin bundle is an element w2 of H2(M,Z2). It reflects the fact that one may always locally lift an SO(n) bundle to a spin bundle, but one needs to choose a Z2 lift of each transition function, which is a choice of sign. The lift does not exist when the product of these three signs on a triple overlap is −1, which yields the Čech cohomology picture of w2. To cancel this obstruction, one tensors this spin bundle with a U(1) bundle with the same obstruction w2. Notice that this is an abuse of the word bundle, as neither the spin bundle nor the U(1) bundle satisfies the triple overlap condition and so neither is actually a bundle. A legitimate U(1) bundle is classified by its Chern class, which is an element of H2(M,Z). Identify this class with the first element in the above exact sequence. The next arrow doubles this Chern class, and so legitimate bundles will correspond to even elements in the second H2(M, Z), while odd elements will correspond to bundles that fail the triple overlap condition. The obstruction then is classified by the failure of an element in the second H2(M,Z) to be in the image of the arrow, which, by exactness, is classified by its image in H2(M,Z2) under the next arrow. To cancel the corresponding obstruction in the spin bundle, this image needs to be w2. In particular, if w2 is not in the image of the arrow, then there does not exist any U(1) bundle with obstruction equal to w2 and so the obstruction cannot be cancelled. By exactness, w2 is in the image of the preceding arrow only if it is in the kernel of the next arrow, which we recall is the Bockstein homomorphism β. That is, the condition for the cancellation of the obstruction is
where we have used the fact that the third integral Stiefel–Whitney class W3 is the Bockstein of the second Stiefel–Whitney class w2 (this can be taken as a definition of W3).
мұнда үшінші интегралдық Штифель-Уитни класы W3 екінші Штифель-Уитни класы w2-нің Бокштейн бейнесі екендігін пайдаландық (бұл W3-тің анықтамасы ретінде қарастырылуы мүмкін).
where the second arrow is induced by multiplication by 2, the third is induced by restriction modulo 2 and the fourth is the associated Bockstein homomorphism β. The obstruction to the existence of a spin bundle is an element w2 of H2(M,Z2). It reflects the fact that one may always locally lift an SO(n) bundle to a spin bundle, but one needs to choose a Z2 lift of each transition function, which is a choice of sign. The lift does not exist when the product of these three signs on a triple overlap is −1, which yields the Čech cohomology picture of w2. To cancel this obstruction, one tensors this spin bundle with a U(1) bundle with the same obstruction w2. Notice that this is an abuse of the word bundle, as neither the spin bundle nor the U(1) bundle satisfies the triple overlap condition and so neither is actually a bundle. A legitimate U(1) bundle is classified by its Chern class, which is an element of H2(M,Z). Identify this class with the first element in the above exact sequence. The next arrow doubles this Chern class, and so legitimate bundles will correspond to even elements in the second H2(M, Z), while odd elements will correspond to bundles that fail the triple overlap condition. The obstruction then is classified by the failure of an element in the second H2(M,Z) to be in the image of the arrow, which, by exactness, is classified by its image in H2(M,Z2) under the next arrow. To cancel the corresponding obstruction in the spin bundle, this image needs to be w2. In particular, if w2 is not in the image of the arrow, then there does not exist any U(1) bundle with obstruction equal to w2 and so the obstruction cannot be cancelled. By exactness, w2 is in the image of the preceding arrow only if it is in the kernel of the next arrow, which we recall is the Bockstein homomorphism β. That is, the condition for the cancellation of the obstruction is
where we have used the fact that the third integral Stiefel–Whitney class W3 is the Bockstein of the second Stiefel–Whitney class w2 (this can be taken as a definition of W3).
Stiefel-Whitney кластарының интегралды көтерулері
Бұл аргумент сондай-ақ екінші Стифел-Уитни класы Z2 кохомологиясының ғана емес, сонымен қатар бір дәреже жоғары интегралды кохомологияның элементтерін анықтайтынын көрсетеді. Шындығында, бұл барлық жұп Стифел-Уитни кластары үшін де орындалады. Нәтижесінде пайда болатын тақ дәрежелі сыныптарды белгілеу үшін әдетте үлкен әріпті W қолданылады, олар интегралды Стифел-Уитни кластары деп аталады және олардың дәрежесімен (әрқашан тақ) таңбаланады.
Мысалдар
4 немесе одан аз өлшемді барлық бағдарланған тегіс манифольдтар спинC. Барлық дерлік комплекс манифольдтар спинC. Барлық спин манифольдтары спинC.
Бөлшектер физикасына қолдану
Бөлшектер физикасында спин-статистикалық теорема зарядталмаған фермионның толқындық функциясы SO(N) бундельінің спин көтеруіне қатысты векторлық бундельдің қимасы екенін көрсетеді. Сондықтан спин құрылымын таңдау толқындық функцияны анықтауға қажетті мәліметтердің бір бөлігі болып табылады, және көбінесе бөлу функциясында осы таңдаулардың үстінен қосынды алу қажет. Көптеген физикалық теорияларда E – жанама бундель, бірақ D-браналардың әлемдік көлемдеріндегі фермиондар үшін ол нормаль бундель болып табылады. Кванттық өріс теориясында зарядталған спинторлар – қатысты спинк бундельдерінің қималары, және әсіресе зарядталған спинторлар спинк емес кеңістікте өміршең бола алмайды. Кейбір супергравитация теорияларында ерекше жағдайлар туындайды, онда қосымша өзара әрекеттесулер басқа өрістер үшінші Стифель-Уитни класын жоюы мүмкін. Супергравитация және сап теориясындағы спинорлардың математикалық сипаттамасы – өте күрделі және әлі шешілмеген мәселе, ол жақында сілтемелерде қарастырылды. Спин құрылымының стандартты түсінігі супергравитация және сап теориясына қолдану үшін тым шектеулі болып табылады, және осы теориялардың математикалық тұжырымдамасы үшін спиноральды құрылымның дұрыс түсінігі – «Липшиц құрылымы» болып табылады.