Введение

В дифференциальной геометрии спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии (M, g) позволяет определить ассоциированные расслоения спиноров, что порождает понятие спинора в дифференциальной геометрии. Спиновые структуры находят широкое применение в математической физике, в особенности в квантовой теории поля, где они являются существенным компонентом в определении любой теории с нейтральными фермионами. Они также представляют собой интерес исключительно с математической точки зрения в дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и K-теории. Они являются основой спиновой геометрии.

Обзор

В геометрии и в теории поля математики задаются вопросом, допускает ли данное ориентированное риманово многообразие (M, g) спиноры. Один из способов решения этой проблемы – потребовать, чтобы M имело спиновую структуру. Это не всегда возможно, поскольку существует потенциальное топологическое препятствие существованию спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля — Уитни w2(M) ∈ H2(M, Z2) многообразия M обращается в нуль. Более того, если w2(M) = 0, то множество классов изоморфизма спиновых структур на M действует на него свободно и транзитивно группа H1(M, Z2). Поскольку предполагается, что многообразие M ориентировано, первый класс Штифеля — Уитни w1(M) ∈ H1(M, Z2) также обращается в нуль. (Классы Штифеля — Уитни wi(M) ∈ Hi(M, Z2) многообразия M определяются как классы Штифеля — Уитни его касательного расслоения TM.) Расслоение спиноров πS: S → M над M является комплексным векторным расслоением, ассоциированным с соответствующим главным расслоением πP: P → M спиновых базисов над M и спиновым представлением его структурной группы Spin(n) на пространстве спиноров Δn. Расслоение S называется спиноровым расслоением для заданной спиновой структуры на M.

Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после введения понятия расслоения; Андре Эфлигер (1956) обнаружил топологическое препятствие существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) расширил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай.

Препятствие

Кроме того, в случае спина, число спиновых структур находится в биекции с этими результатами можно легко доказать, используя аргумент спектральной последовательности для ассоциированного главного расслоения. Из общей теории спектральных последовательностей существует точная последовательность, где, кроме того, и для некоторой фильтрации на , поэтому мы получаем отображение, дающее точную последовательность. Теперь спиновая структура – это как раз двойное накрытие, вписывающееся в коммутативную диаграмму, где две левые вертикальные карты являются картами двойного накрытия. Двойные накрытия находятся в биекции с индексными подгруппами , которые, в свою очередь, находятся в биекции с множеством групповых гомоморфизмов. Но, согласно теореме Гуревича и изменению коэффициентов, это как раз группа когомологий. Применяя тот же аргумент к , нетривиальное накрытие соответствует , а отображение в точно является классом Штифеля — Уитни второго порядка, следовательно, если он обращается в нуль, то прообраз под отображением представляет собой множество двойных накрытий, дающих спиновые структуры. Это подмножество можно отождествить с , показывая, что последняя группа когомологий классифицирует различные спиновые структуры на векторном расслоении. Это можно сделать, рассмотрев длинную точную последовательность групп гомотопий фибрации и применив , что дает последовательность групп когомологий. Поскольку является ядром, а прообраз находится в биекции с ядром, мы получаем желаемый результат.

Примечания к классификации

Когда существуют спиновые структуры, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии находятся во взаимно однозначном (не каноническом) соответствии с элементами H¹(M, Z₂), которые, согласно теореме об универсальных коэффициентах, изоморфны H¹(M, Z₂). Более точно, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H¹(M, Z₂). Интуитивно, для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует бинарному выбору: переключает ли сечение расслоения SO(N) листы при обходе петли. Если w₂ обращается в нуль, то эти выборы можно продолжить на 2-скелет, а затем (по теории обструкций) автоматически продолжить на всё M. В физике частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов при обходе каждой петли. Следует отметить, что на комплексном многообразии второй класс Штифеля — Уитни можно вычислить как первый класс Черна.

Примеры

Поверхность рода g Римана допускает 22g неэквивалентных спиновых структур; см. тета-характеристику. Если H2(M, Z2) обращается в нуль, M является спиновым многообразием. Например, Sn является спиновым для всех n (обратите внимание, что S2 также является спиновым, но по другим причинам; см. ниже). Комплексная проективная плоскость CP2 не является спиновым многообразием. В более общем случае, все четномерные комплексные проективные пространства CP2n не являются спиновыми. Все нечетномерные комплексные проективные пространства CP2n+1 являются спиновыми. Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми. Все многообразия Калаби-Яу являются спиновыми.

Свойства

Род спинового многообразия является целым числом и чётным, если дополнительно его размерность сравнима с 4 по модулю 8. В общем случае род Â является рациональным инвариантом, определённым для любого многообразия, но не всегда является целым числом. Это было впервые доказано Хирцебрухом и Борелем и может быть доказано теоремой об индексе Атия — Сингера, рассматривая род Â как индекс оператора Дирака. Оператор Дирака — это квадратный корень из оператора второго порядка, и его существование обусловлено тем, что спиновая структура является своего рода "квадратным корнем". Этот пример послужил мотивацией для создания теоремы об индексе.

Препятствие

Структура спинC существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Стифеля-Уитни расслоения E попадает в образ отображения H2(M, Z) → H2(M, Z/2Z) (иными словами, третий интегральный класс Стифеля-Уитни обращается в нуль). В этом случае говорят, что E является спинC-расслоением. Интуитивно, подъем дает класс Черна квадрата U(1)-части любого полученного спинC-расслоения. По теореме Хопфа и Хирцебруха, замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают структуру спинC.

Классификация

Когда многообразие несет структуру спинᶜ, множество структур спинᶜ образует аффинное пространство. Более того, на множестве структур спинᶜ существует свободное транзитивное действие группы H²(M, ℤ). Таким образом, структуры спинᶜ соответствуют элементам H²(M, ℤ), хотя и не естественным образом.

Геометрическая картина

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, предложенную Эдвардом Виттеном. Когда структура SpinC ненулевая, этот пучок квадратного корня имеет нецелочисленный класс Черна, что означает, что он не удовлетворяет условию тройного перекрытия. В частности, произведение переходных функций в трехкратном пересечении не всегда равно единице, как требуется для главного расслоения. Вместо этого оно иногда равно −1. Этот провал происходит точно в тех же пересечениях, что и аналогичный провал в тройных произведениях переходных функций заблокированного спинорного расслоения. Следовательно, тройные произведения переходных функций полного расслоения SpinC, которые являются произведениями тройных произведений спинорного и U(1) компонентных расслоений, равны либо 1 = 1² = 1, либо 1 = (−1)² = 1, и таким образом расслоение SpinC удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является корректным расслоением.

Детали

Вышеуказанная интуитивная геометрическая картина может быть конкретизирована следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z → Z → Z2 → 0, где вторая стрелка – умножение на 2, а третья – взятие по модулю 2. Это индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях, которая содержит

где вторая стрелка индуцирована умножением на 2, третья – ограничением по модулю 2, а четвертая – соответствующим гомоморфизмом Бокштейна β. Препятствием к существованию спинорного расслоения является элемент w2 из H2(M,Z2). Это отражает тот факт, что локально SO(n)-расслоение всегда можно поднять до спинорного расслоения, но для каждой функции перехода необходимо выбрать Z2-подъем, что эквивалентно выбору знака. Подъем не существует, когда произведение этих трех знаков на тройном пересечении равно −1, что дает картину w2 в чешских когомологиях. Чтобы устранить это препятствие, спинорное расслоение тензорно перемножают с U(1)-расслоением с тем же препятствием w2. Следует отметить, что использование слова «расслоение» здесь несколько некорректно, поскольку ни спинорное, ни U(1)-расслоение не удовлетворяют условию тройного перекрытия и, следовательно, фактически не являются расслоениями. Легитимное U(1)-расслоение классифицируется своим классом Черна, который является элементом H2(M,Z). Отождествим этот класс с первым элементом в вышеуказанной точной последовательности. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, поэтому легитимные расслоения соответствуют четным элементам в H2(M,Z), а нечетные элементы соответствуют расслоениям, не удовлетворяющим условию тройного перекрытия. Препятствие, таким образом, классифицируется тем, что элемент из H2(M,Z) не принадлежит образy стрелки, который, по точности, классифицируется своим образом в H2(M,Z2) под следующей стрелкой. Чтобы устранить соответствующее препятствие в спинорном расслоении, этот образ должен быть равен w2. В частности, если w2 не принадлежит образу стрелки, то не существует U(1)-расслоения с препятствием, равным w2, и, следовательно, препятствие не может быть устранено. По точности, w2 принадлежит образу предыдущей стрелки только в том случае, если оно принадлежит ядру следующей стрелки, то есть гомоморфизму Бокштейна β. Таким образом, условием устранения препятствия является

где мы использовали тот факт, что третий интегральный класс Штифеля-Уитни W3 является образом Бокштейна второго класса Штифеля-Уитни w2 (это можно принять за определение W3).

Интегральные подъемники класса Stiefel/Whitney

Этот аргумент также демонстрирует, что второй класс Стифеля-Уитни определяет элементы не только в Z2-кохомологии, но и в интегральной кохомологии на одну степень выше. Фактически, это справедливо для всех четных классов Стифеля-Уитни. Традиционно для обозначения полученных классов нечетной степени используется заглавная буква W, которые называются интегральными классами Стифеля-Уитни и индексируются их степенью (которая всегда нечетна).

Примеры

Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше являются спинC. Все почти комплексные многообразия являются спинC. Все спиновые многообразия являются спинC.

Применение в физике элементарных частиц

В физике частиц теорема спин-статистики подразумевает, что волновая функция незаряженного фермиона является сечением ассоциированного векторного расслоения к спиновому подъему расслоения SO(N) E. Следовательно, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто требуется суммировать по этим выборам в функционале распределения. Во многих физических теориях E является касательным расслоением, но для фермионов на мировых объемах D-бран в теории струн это нормальное расслоение. В квантовой теории поля заряженные спиноры являются сечениями ассоциированных spinc-расслоений, и, в частности, заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, не являющемся spinc-пространством. Исключение возникает в некоторых теориях супергравитации, где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут аннулировать третий класс Штифеля-Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн представляет собой особенно тонкую нерешенную проблему, которая недавно рассматривалась в литературе. Оказывается, что стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для применения к супергравитации и теории струн, и что корректным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является "структура Липшица".