Кіріспе
Ең үлкен ортақ бөлгіші бар математикалық құрылым
Математикада, GCD домені – кез келген екі элементінің ең үлкен ортақ бөлгіші (GCD) болатын R интегралды домені; яғни, екі берілген элементпен жасалған идеалды қамтитын бірегей ең кіші негізгі идеал бар. Балама түрінде, R доменінің кез келген екі элементінің ең кіші ортақ еселігі (LCM) болады. GCD домені бірегей факторлау доменін (UFD) Нотхерлік емес жағдайда келесі мағынада кеңейтеді: интегралды домен, егер және тек қана егер ол GCD домені болып, негізгі идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандырса (және әсіресе, егер ол Нотхерлік болса). GCD домендері келесі кластық кіріктірулер тізбегінде кездеседі:
Қасиеттері
Кез келген GCD доменінің әрбір толыққанды бөлгішсіз элементі жай сан болады. GCD домені интегралды жабық, және нөлден өзгеген әрбір элемент бастапқы болып табылады. Басқаша айтқанда, әрбір GCD домені – Шрайер домені. Кез келген GCD домені R-дің x, y элементтерінің әрбір жұбы үшін, x және y-дің ең үлкен ортақ бөлгіші d және ең кіші ортақ еселігі m таңдалуы мүмкін, немесе басқаша айтқанда, егер x және y нөлден өзгеген элементтер болса және d – x және y-дің кез келген ең үлкен ортақ бөлгіші болса, онда xy/d – x және y-дің ең кіші ортақ еселігі, және керісінше. Осыдан GCD және ең кіші ортақ еселік операциялары R/~ бөлігін таратушы торға айналдырады, мұнда "~" – байланысты элементтердің эквиваленттілік қатынасын білдіреді. Ең үлкен ортақ бөлгіштердің және ең кіші ортақ еселіктердің болуы арасындағы эквиваленттілік толық торлардағы ұқсас нәтижеден туындамайды, себебі GCD домені R үшін R/~ бөлігі толық тор болуы міндетті емес. Егер R – GCD домені болса, онда R[X1, …, Xn] полиномдық сақинасы да GCD домені болады. R – GCD домені, егер және тек қана оның негізгі идеалдарының шекті қиылыстары негізгі болса. Атап айтқанда, , мұндағы – және -нің ең кіші ортақ еселігі. GCD доменіндегі X-ке қатысты полином үшін, оның мазмұны – барлық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші ретінде анықталады. Одан кейін полиномдардың көбейтіндісінің мазмұны – олардың мазмұндарының көбейтіндісіне тең, бұл Гаусс леммасымен көрсетілген, ол GCD домендері үшін жарамды.
If R is a GCD domain, then the polynomial ring R[X1, ,Xn] is also a GCD domain. R is a GCD domain if and only if finite intersections of its principal ideals are principal. In particular, , where is the LCM of and
For a polynomial in X over a GCD domain, one can define its content as the GCD of all its coefficients. Then the content of a product of polynomials is the product of their contents, as expressed by Gauss's lemma, which is valid over GCD domains.
Мысалдар
Бірегей факторлау домені – GCD домені. GCD домендерінің арасында бірегей факторлау домендері дәл атомдық домендер болып табылады (яғни, кез келген нөлдік емес бірлік үшін кем дегенде бір азайтылмайтын элементтерге жіктелу бар). Безу домені (яғни, әрбір шекті түрде жасалған идеал негізгі болатын интегралды домен) – GCD домені. Басты идеалдық домендерден (әр идеал негізгі болады) өзгеше, Безу домені міндетті түрде бірегей факторлау домені болуы керек емес; мысалы, толық функциялардың сақинасы атомдық емес Безу домені болып табылады, және көптеген басқа мысалдар да бар. Интегралды домен – егер және тек қана ол Безу домені болса, онда ол Прюфер GCD домені болып табылады. Егер R атомдық емес GCD домені болса, онда R[X] – GCD доменінің мысалы болып табылады, ол бірегей факторлау домені емес (өйткені ол атомдық емес), сондай-ақ Безу домені де емес (өйткені X және R-дің инвертибелі емес және нөлдік емес элементі a 1 кірмейтін идеалды тудырады, бірақ 1 X және a-ның GCD болып табылады); жалпырақ айтқанда, кез келген R[X1, …, Xn] сақинасы осы қасиеттерге ие. Коммутативті моноид сақинасы GCD домені болады, егер және тек қана егер GCD домені болса, және ол торсионсыз GCD-жойылмалы жартылай топ болса. GCD жартылай тобы – жартылай топ, ол қосымша қасиетке ие: жартылай топтағы кез келген екі элемент үшін олардың ең үлкен ортақ бөлгіші бар элемент табылады. Атап айтқанда, егер абельдік топ болса, онда GCD домені болады, егер және тек қана егер GCD домені болса және торсионсыз болса. Сақина барлық квадратсыз бүтін сандар үшін GCD домені бола бермейді.
G-GCD домендері
GCD доменінің көптеген қасиеттері Generalized GCD домендеріне көшеді, онда негізгі идеалдар кері айналатын идеалдарға ұлғаяды және екі кері айналатын идеалдың қиылысы кері айналатын болады, сондықтан кері айналатын идеалдар тобы тор құрайды. GCD сақиналарында идеалдар кері айналатын болады, егер және тек қана олар негізгі болса, яғни GCD және LCM операцияларын кері айналатын идеалдарға қатысты операциялар ретінде де қарастыруға болады. G GCD домендерінің мысалдарына GCD домендері, GCD домендері үстіндегі полиномдық сақиналар, Прюфер домендері және π домендері (әрбір негізгі идеал жай идеалдардың көбейтіндісі болатын домендер) жатады, бұл Безу домендерінің және бірегей жіктеу домендерінің GCD қасиетін жалпылайды.