Области наибольших общих делителей

Введение

Математическая структура с наибольшим общим делителем

В математике, область наибольших общих делителей (НОД) – это целостная область R, обладающая свойством, что любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД); то есть, существует единственный минимальный главный идеал, содержащий идеал, порожденный двумя заданными элементами. Эквивалентно, любые два элемента R имеют наименьшее общее кратное (НОК). Область НОД обобщает область однозначной факторизации (ОУФ) на ненотеровский случай в следующем смысле: целостная область является ОУФ тогда и только тогда, когда она является областью НОД, удовлетворяющей условию восходящей цепи главных идеалов (и, в частности, если она нотерова). Области НОД входят в следующую цепочку включений классов:

Свойства

Каждый неприводимый элемент домена НОД является простым. Домен НОД является интегрально замкнутым, и каждый ненулевой элемент является первостепенным. Иными словами, каждый домен НОД является доменом Шрайера. Для любой пары элементов x, y из домена НОД R, можно выбрать наибольший общий делитель (НОД) d для x и y и наименьшее общее кратное (НОК) m для x и y таким образом, что , или, другими словами, если x и y – ненулевые элементы, а d – любой НОД для x и y, то xy/d является НОК для x и y, и наоборот. Отсюда следует, что операции НОД и НОК превращают факторгруппу R/~ в дистрибутивную решетку, где "~" обозначает отношение эквивалентности ассоциированности элементов. Эквивалентность между существованием НОД и существованием НОК не является следствием аналогичного результата для полных решеток, поскольку факторгруппа R/~ не обязана быть полной решеткой для домена НОД R. Если R является доменом НОД, то кольцо многочленов R[X1, ..., Xn] также является доменом НОД. R является доменом НОД тогда и только тогда, когда конечные пересечения его главных идеалов являются главными. В частности, где – НОК и . Для многочлена в X над доменом НОД можно определить его содержание как НОД всех его коэффициентов. Тогда содержание произведения многочленов равно произведению их содержаний, что выражается леммой Гаусса, которая справедлива для доменов НОД.

Примеры

Уникальный домен факторизации является областью наибольшего общего делителя (НОД). Среди областей НОД, уникальные домены факторизации – это как раз те, которые также являются атомными доменами (что означает, что для любого ненулевого и не являющегося единицей элемента существует хотя бы одна факторизация на неприводимые элементы). Домен Безу (то есть интегральный домен, в котором каждый конечно порожденный идеал является главным) является областью НОД. В отличие от главных идеальных доменов (в которых каждый идеал является главным), домен Безу не обязательно является уникальным доменом факторизации; например, кольцо целых функций является неатомным доменом Безу, и существует множество других примеров. Интегральный домен является доменом Прюфера НОД тогда и только тогда, когда он является доменом Безу. Если R – неатомная область НОД, то R[X] является примером области НОД, которая не является ни уникальным доменом факторизации (поскольку она неатомная), ни доменом Безу (поскольку X и неединичный и ненулевой элемент a из R порождают идеал, не содержащий 1, но 1 тем не менее является НОД для X и a); в более общем случае любое кольцо R[X1, …, Xn] обладает этими свойствами. Коммутативное моноидное кольцо является областью НОД тогда и только тогда, когда является областью НОД, а является свободной от кручения отменяющей полугруппой НОД. Полугруппа НОД – это полугруппа с дополнительным свойством, что для любых элементов и в полугруппе существует элемент , такой что . В частности, если является абелевой группой, то является областью НОД тогда и только тогда, когда является областью НОД, а свободна от кручения. Кольцо не является областью НОД для всех целых чисел, свободных от квадратов.

Домены G-GCD

Многие свойства доменов GCD переносятся на обобщённые домены GCD, где главные идеалы обобщаются до обратимых идеалов и где пересечение двух обратимых идеалов само является обратимым, так что группа обратимых идеалов образует решётку. В кольцах GCD идеалы обратимы тогда и только тогда, когда они главные, что означает, что операции НОД и НОК также можно рассматривать как операции над обратимыми идеалами. Примеры обобщённых доменов GCD включают домены GCD, кольца многочленов над доменами GCD, домены Пруфера и π-домены (домены, в которых каждый главный идеал является произведением простых идеалов), что обобщает свойство GCD доменов Безу и доменов однозначной факторизации.