Кіріспе
Вариациялар есебі үшін математикалық талдау саласында Γ-конвергенция (Гамма-конвергенциясы) – функционалдардың конвергенциясының бір түрі болып табылады. Оны Эннио Де Джорджи енгізген.
Анықтама
Келіңіздер, болып табылатын топологиялық кеңістік болсын, ал нүктенің барлық маңайлары жиынымен белгіленсін. Әрі, функциялардың тізбегі болсын. және функциялары келесідей анықталады:
егер осындай функция болса, онда функциялар жиыны -қа жақындайды дейміз.
Куратовский конвергенциясына қатысты
конвергенция жинақтардың Куратовский конвергенциясы түсінігімен байланысты. Функцияның эпиграфы болсын және функционалдардың тізбегі болсын. Онда
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
,
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
мұнда – өнім топологиясындағы Куратовский төменгі лим, ал – Куратовский жоғары лим. Атап айтқанда, егер және тек қана егер болса, онда конвергенция болады. Сондықтан бұл конвергенция кейде эпиконвергенция деп аталады.
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
Қасиеттері
Минимизаторлар минимизаторларға жақындайды: Егер -ға жақындаса және -ның минимизаторы болса, онда тізбегінің кез келген кластерлік нүктесі -ның минимизаторы болады. Шектер әрқашан төменгі жартылай үздіксіз болады. Ұдайы бұзылыстар кезінде жақындау тұрақты: Егер -ға жақындаса және -ның үздіксіздігі болса, онда -та жақындайды. Функционалдардың тұрақты тізбегі міндетті түрде -ға жақындамайды, бірақ -ның релаксациясына, төмендегі ең үлкен төменгі жартылай үздіксіз функционалға жақындайды.
Қолданбалар
Конвергенцияның маңызды қолданылуы гомогендеу теориясында. Оны материалдардың дискретті теориясынан континуум теориясына қатаң көшуді негіздеу үшін де пайдалануға болады, мысалы, серпімділік теориясында.