Введение
В области математического анализа, в частности в исчислении вариаций, Γ-сходимость (Гамма-сходимость) — это понятие сходимости функционалов. Она была введена Эннио Де Джорджи.
Определение
Пусть X — топологическое пространство, а U(x) — множество всех окрестностей точки x. Пусть {F_n} — последовательность функционалов на X. Функционалы F_n и F определяются следующим образом:
говорят, что F_n сходится к F, если существует функционал G такой, что |F_n(x) - F(x)| ≤ G(x) для всех x из X.
Отношение к конвергенции Куратовского
сближение связано с понятием сближения множеств Куратовского. Пусть обозначает эпиграф функции , а – последовательность функционалов на . Тогда
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
,
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
где обозначает нижний лим Куратовского, а – верхний лим Куратовского в топологии произведения . В частности, сходится к в тогда и только тогда, когда сходится к в . Именно поэтому сближение иногда называют эпи-сходимостью.
where denotes the Kuratowski limes inferior and the Kuratowski limes superior in the product topology of In particular, converges to in if and only if converges to in This is the reason why convergence is sometimes called epi convergence.
Свойства
Минимизаторы сходятся к минимизаторам: Если последовательности сходятся к , и является минимизатором для , то каждая предельная точка последовательности является минимизатором. Пределы всегда нижних полунепрерывны. Сходимость устойчива к непрерывным возмущениям: Если сходится к и непрерывна, то будет сходиться к . Постоянная последовательность функционалов не обязательно сходится к , но к релаксации , наибольшему нижнему полунепрерывному функционалу, лежащему ниже .
Приложения
Важным применением сходимости является теория гомогенизации. Она также может быть использована для строгого обоснования перехода от дискретных к континуальным теориям для материалов, например, в теории упругости.