Бөзу домендері: математикалық анықтама және қасиеттері

Кіріспе

Математикада Безу домені – Пруфер доменінің бір түрі. Бұл екі негізгі идеалдың қосындысы қайтадан негізгі идеал болатын интегралдық домен. Яғни, кез келген екі элемент үшін Безу тепе-теңдігі орындалады және кез келген шекті жасалған идеал негізгі болады. Кез келген негізгі идеалдық домен (PID) – Безу домені, бірақ Безу домені міндетті түрде Нотерлік сақина болмауы мүмкін, сондықтан оның шексіз жасалған идеалдары болуы мүмкін (бұл оның PID болуына кедергі келтіреді); егер осылай болса, ол бірегей факторлау домені (UFD) емес, бірақ GCD домені болып қалады. Безу домендерінің теориясы Нотерлік қасиетті қажет етпей, PID-тің көптеген қасиеттерін сақтайды. Безу домендері француз математигі Этьен Безудың құрметіне аталған.

Мысалдар

Барлық PID-лер — Безу домендері. PID емес Безу домендерінің мысалдарына бүтін функциялар сақинасы (толық комплекс жазықтықта голоморфты функциялар) және барлық алгебралық бүтін сандар сақинасы жатады. Бүтін функциялар жағдайында, жалғыз қайталанбайтын элементтер — 1-дәрежелі көпмүшелік функциямен байланысты функциялар, сондықтан элементтің факторлануы тек оның шекті санда ғана нөлдері болған жағдайда ғана мүмкін. Алгебралық бүтін сандар жағдайында ешқандай қайталанбайтын элементтер жоқ, себебі кез келген алгебралық бүтін санның квадрат түбірі (мысалы) да алгебралық бүтін сан болып табылады. Бұл екі жағдайда да сақина UFD емес екенін көрсетеді, демек ол PID де емес. Бағалау сақиналары — Безу домендері. Кез келген нотериандық емес бағалау сақинасы — нотериандық емес Безу доменінің мысалы. Келесі жалпы құрылым кез келген Безу доменінен UFD емес S доменін жасайды, егер R домені өріс болмаса, мысалы, PID-ден; бұл жағдай есімізде болу керек негізгі мысал. F — R-дің бөлшектер өрісі болсын, және R-дегі тұрақты мүшесі бар F[X]-дегі көпмүшелердің ішкі сақинасын қарастырайық. Бұл сақина нотериандық емес, себебі X сияқты тұрақты мүшесі нөлге тең элементті R-дің инвертибелі емес элементтеріне шексіз бөлуге болады, олар S-де де инвертибелі емес, ал осы бөлулердің бәрін қамтитын идеал шекті түрде жаратылмайды (сондықтан X-тың S-де факторлануы жоқ). S — Безу домені екенін келесідей көрсетеміз. S-тегі кез келген a, b жұбы үшін S-те s, t элементтерінің бар екенін дәлелдеу жеткілікті, сонда as + bt a және b-нің екеуін де бөледі. Егер a және b ортақ бөлгіші d болса, a/d және b/d үшін дәлелдеу жеткілікті, себебі бірдей s, t жарайды. a және b көпмүшелері нөлден өзгеше деп есептейміз; егер екеуінің де тұрақты мүшесі нөлге тең болса, онда n — олардың кем дегенде біреуінде Xn коэффициенті нөлден өзгеше болатын ең кішкентай дәреже болсын; a және b-нің ортақ бөлгіші болатын fXn болатын F-ден f табуға болады және осымен бөлуге болады. Сондықтан кем дегенде a, b-нің бірінде нөлден өзгеше тұрақты мүшесі бар деп есептеуге болады. Егер a және b F[X] элементтері ретінде салыстырмалы жай емес болса, онда осы UFD-де тұрақты мүшесі 1-ге тең a және b-нің ең үлкен ортақ бөлгіші бар, демек ол S-де жатыр; біз осы фактормен бөле аламыз. Сондықтан a және b F[X]-де салыстырмалы жай деп есептеуге болады, сонда 1 aF[X] + bF[X]-де жатыр, ал R-дегі кейбір тұрақты көпмүше r aS + bS-де жатыр. Сонымен қатар, R — Безу домені болғандықтан, a0 және b0 тұрақты мүшелерінің R-дегі ең үлкен ортақ бөлгіші d a0R + b0R-де жатыр. Тұрақты мүшесі жоқ кез келген элемент, мысалы a − a0 немесе b − b0, кез келген нөлден өзгеше тұрақтыға бөлінеді, сондықтан d тұрақтысы S-де a және b-нің ортақ бөлгіші болып табылады; біз оның шын мәнінде ең үлкен ортақ бөлгіш екенін көрсетеміз, оны aS + bS-де жатқанын көрсете отырып. a және b-ні a0 және b0-ға қатысты d үшін Безу коэффициенттерімен көбейту aS + bS-де тұрақты мүшесі d болатын көпмүше береді. Содан кейін p − d тұрақты мүшесі нөлге тең, сондықтан S-де тұрақты көпмүше r-дің еселігі болып табылады, демек aS + bS-де жатыр. Бірақ d де солай, бұл дәлелді толықтайды.

All PIDs are Bézout domains. Examples of Bézout domains that are not PIDs include the ring of entire functions (functions holomorphic on the whole complex plane) and the ring of all algebraic integers. In case of entire functions, the only irreducible elements are functions associated to a polynomial function of degree 1, so an element has a factorization only if it has finitely many zeroes. In the case of the algebraic integers there are no irreducible elements at all, since for any algebraic integer its square root (for instance) is also an algebraic integer. This shows in both cases that the ring is not a UFD, and so certainly not a PID. Valuation rings are Bézout domains. Any non Noetherian valuation ring is an example of a non noetherian Bézout domain. The following general construction produces a Bézout domain S that is not a UFD from any Bézout domain R that is not a field, for instance from a PID; the case is the basic example to have in mind. Let F be the field of fractions of R, and put , the subring of polynomials in F[X] with constant term in R. This ring is not Noetherian, since an element like X with zero constant term can be divided indefinitely by noninvertible elements of R, which are still noninvertible in S, and the ideal generated by all these quotients of is not finitely generated (and so X has no factorization in S). One shows as follows that S is a Bézout domain. It suffices to prove that for every pair a, b in S there exist s, t in S such that as + bt divides both a and b. If a and b have a common divisor d, it suffices to prove this for a/d and b/d, since the same s, t will do. We may assume the polynomials a and b nonzero; if both have a zero constant term, then let n be the minimal exponent such that at least one of them has a nonzero coefficient of Xn; one can find f in F such that fXn is a common divisor of a and b and divide by it. We may therefore assume at least one of a, b has a nonzero constant term. If a and b viewed as elements of F[X] are not relatively prime, there is a greatest common divisor of a and b in this UFD that has constant term 1, and therefore lies in S; we can divide by this factor. We may therefore also assume that a and b are relatively prime in F[X], so that 1 lies in aF[X] + bF[X], and some constant polynomial r in R lies in aS + bS. Also, since R is a Bézout domain, the gcd d in R of the constant terms a0 and b0 lies in a0R + b0R. Since any element without constant term, like a − a0 or b − b0, is divisible by any nonzero constant, the constant d is a common divisor in S of a and b; we shall show it is in fact a greatest common divisor by showing that it lies in aS + bS. Multiplying a and b respectively by the Bézout coefficients for d with respect to a0 and b0 gives a polynomial p in aS + bS with constant term d. Then p − d has a zero constant term, and so is a multiple in S of the constant polynomial r, and therefore lies in aS + bS. But then d does as well, which completes the proof.

Безу доменіндегі модульдер

PID модульдері туралы кейбір фактілер Bézout доменіндегі модульдерге де қатысты. R – Bézout домені болсын және M – R бойынша шекті түрде туындаған модуль болсын. Онда M, егер және тек қана ол бұралусыз болса, жазық болады.