Домены Безу и их свойства

Введение

В математике, область Безу́ является формой области Пру́фера. Это целостная область, в которой сумма двух главных идеалов снова является главным идеалом. Это означает, что для любой пары элементов выполняется тождество Безу́, и что каждый конечно порождённый идеал является главным. Любая область главных идеалов (ОГИ) является областью Безу́, но область Безу́ не обязана быть нётеровым кольцом, поэтому она может иметь бесконечно порождённые идеалы (что, очевидно, исключает возможность быть ОГИ); если это так, то она не является областью однозначной факторизации (ОУФ), но всё ещё является областью наибольших общих делителей (НОД). Теория областей Безу́ сохраняет многие свойства ОГИ, не требуя нётерова свойства. Области Безу́ названы в честь французского математика Этьена Безу́.

Примеры

Все PID являются областями Безу. Примеры областей Безу, которые не являются PID, включают кольцо целых функций (функции, голоморфные на всей комплексной плоскости) и кольцо всех алгебраических целых чисел. В случае целых функций единственными необратимыми элементами являются функции, связанные с многочленной функцией степени 1, поэтому элемент имеет разложение на множители только в том случае, если у него конечное число нулей. В случае алгебраических целых чисел вообще нет необратимых элементов, поскольку для любого алгебраического целого числа его квадратный корень (например) также является алгебраическим целым числом. Это показывает, что кольцо не является областью однозначной факторизации (UFD), и, следовательно, тем более не является PID. Области оценок являются областями Безу. Любая область оценки, не являющаяся нётеровской, является примером нётеровской области Безу. Следующая общая конструкция создает область Безу S, которая не является UFD, из любой области Безу R, которая не является полем, например, из PID; случай является основным примером, который следует иметь в виду. Пусть F — поле частных R, и пусть — подкольцо многочленов в F[X] с постоянным членом в R. Это кольцо не является нётеровым, поскольку элемент, такой как X с нулевым постоянным членом, можно бесконечно разделить на обратимые элементы R, которые также остаются обратимыми в S, и идеал, порожденный всеми этими частными, не является конечно порожденным (и, следовательно, X не имеет разложения на множители в S). Доказывается следующее: S является областью Безу. Достаточно доказать, что для каждой пары a, b в S существуют s, t в S такие, что as + bt делит и a, и b. Если a и b имеют общий делитель d, достаточно доказать это для a/d и b/d, поскольку те же s и t подойдут. Можно предположить, что многочлены a и b ненулевые; если оба имеют нулевой свободный член, то пусть n — минимальная степень, такая что хотя бы один из них имеет ненулевой коэффициент при Xn; можно найти f в F, такой что fXn является общим делителем a и b, и разделить на него. Поэтому можно предположить, что хотя бы один из a и b имеет ненулевой свободный член. Если a и b, рассматриваемые как элементы F[X], не являются взаимно простыми, то существует наибольший общий делитель a и b в этой UFD, имеющий свободный член 1, и, следовательно, принадлежащий S; мы можем разделить на этот делитель. Поэтому можно также предположить, что a и b взаимно просты в F[X], так что 1 лежит в aF[X] + bF[X], и некоторый постоянный многочлен r в R лежит в aS + bS. Также, поскольку R является областью Безу, НОД d в R свободных членов a0 и b0 лежит в a0R + b0R. Поскольку любой элемент без свободного члена, например a − a0 или b − b0, делится на любую ненулевую константу, константа d является общим делителем a и b в S; мы покажем, что это на самом деле наибольший общий делитель, показав, что он лежит в aS + bS. Умножение a и b соответственно на коэффициенты Безу для d относительно a0 и b0 дает многочлен p в aS + bS со свободным членом d. Тогда p − d имеет нулевой свободный член, и, следовательно, кратен в S постоянному многочлену r, и, следовательно, лежит в aS + bS. Но тогда d также, что завершает доказательство.

All PIDs are Bézout domains. Examples of Bézout domains that are not PIDs include the ring of entire functions (functions holomorphic on the whole complex plane) and the ring of all algebraic integers. In case of entire functions, the only irreducible elements are functions associated to a polynomial function of degree 1, so an element has a factorization only if it has finitely many zeroes. In the case of the algebraic integers there are no irreducible elements at all, since for any algebraic integer its square root (for instance) is also an algebraic integer. This shows in both cases that the ring is not a UFD, and so certainly not a PID. Valuation rings are Bézout domains. Any non Noetherian valuation ring is an example of a non noetherian Bézout domain. The following general construction produces a Bézout domain S that is not a UFD from any Bézout domain R that is not a field, for instance from a PID; the case is the basic example to have in mind. Let F be the field of fractions of R, and put , the subring of polynomials in F[X] with constant term in R. This ring is not Noetherian, since an element like X with zero constant term can be divided indefinitely by noninvertible elements of R, which are still noninvertible in S, and the ideal generated by all these quotients of is not finitely generated (and so X has no factorization in S). One shows as follows that S is a Bézout domain. It suffices to prove that for every pair a, b in S there exist s, t in S such that as + bt divides both a and b. If a and b have a common divisor d, it suffices to prove this for a/d and b/d, since the same s, t will do. We may assume the polynomials a and b nonzero; if both have a zero constant term, then let n be the minimal exponent such that at least one of them has a nonzero coefficient of Xn; one can find f in F such that fXn is a common divisor of a and b and divide by it. We may therefore assume at least one of a, b has a nonzero constant term. If a and b viewed as elements of F[X] are not relatively prime, there is a greatest common divisor of a and b in this UFD that has constant term 1, and therefore lies in S; we can divide by this factor. We may therefore also assume that a and b are relatively prime in F[X], so that 1 lies in aF[X] + bF[X], and some constant polynomial r in R lies in aS + bS. Also, since R is a Bézout domain, the gcd d in R of the constant terms a0 and b0 lies in a0R + b0R. Since any element without constant term, like a − a0 or b − b0, is divisible by any nonzero constant, the constant d is a common divisor in S of a and b; we shall show it is in fact a greatest common divisor by showing that it lies in aS + bS. Multiplying a and b respectively by the Bézout coefficients for d with respect to a0 and b0 gives a polynomial p in aS + bS with constant term d. Then p − d has a zero constant term, and so is a multiple in S of the constant polynomial r, and therefore lies in aS + bS. But then d does as well, which completes the proof.

Модули над доменом Безу

Некоторые факты о модулях над областью главных идеалов распространяются на модули над областью Безу. Пусть R – область Безу и M – конечно порожденный модуль над R. Тогда M является плоским тогда и только тогда, когда он не содержит кручения.