CR манифольдтары және олардың геометриялық қасиеттері
CR manifold
CR манифольдтары: математикадағы күрделі геометрия, Cauchy-Riemann құрылымдары, Леви формасы, псевдо-дөңгелек қасиеттері. Математикалық зерттеулерге арналған маңызды түсінік.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада CR көптігі, немесе Коши-Риманн көптігі, — күрделі векторлық кеңістіктегі нақты гипербеттің геометриялық құрылымымен немесе жалпы алғанда, кене жиегімен үлгіленген дифференциалданатын көптік. Формальды түрде CR көптігі — дифференциалданатын көптік M, оған басымдық берілген күрделі таралым L қоса берілген, яғни күрделіленген жанама топтаманың күрделі кіші топтамасы. Онда былай делінеді:
In mathematics, a CR manifold, or Cauchy–Riemann manifold, is a differentiable manifold together with a geometric structure modeled on that of a real hypersurface in a complex vector space, or more generally modeled on an edge of a wedge. Formally, a CR manifold is a differentiable manifold M together with a preferred complex distribution L, or in other words a complex subbundle of the complexified tangent bundle such that
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
(L формальды түрде интегралданады)
In mathematics, a CR manifold, or Cauchy–Riemann manifold, is a differentiable manifold together with a geometric structure modeled on that of a real hypersurface in a complex vector space, or more generally modeled on an edge of a wedge. Formally, a CR manifold is a differentiable manifold M together with a preferred complex distribution L, or in other words a complex subbundle of the complexified tangent bundle such that
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
L кіші топтамасы көптік M-дегі CR құрылымы деп аталады.
In mathematics, a CR manifold, or Cauchy–Riemann manifold, is a differentiable manifold together with a geometric structure modeled on that of a real hypersurface in a complex vector space, or more generally modeled on an edge of a wedge. Formally, a CR manifold is a differentiable manifold M together with a preferred complex distribution L, or in other words a complex subbundle of the complexified tangent bundle such that
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
CR аббревиатурасы "Коши-Риманн" немесе "Күрделі нақты" дегенді білдіреді.
In mathematics, a CR manifold, or Cauchy–Riemann manifold, is a differentiable manifold together with a geometric structure modeled on that of a real hypersurface in a complex vector space, or more generally modeled on an edge of a wedge. Formally, a CR manifold is a differentiable manifold M together with a preferred complex distribution L, or in other words a complex subbundle of the complexified tangent bundle such that
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
Леви формасы
M бір ғана анықтауыш функциясы F = 0 болатын гипербеттік типті CR коллекторы болсын. Евгений Элия Леви есімімен аталатын M-нің Леви формасы – бұл гермиттік 2-форма.
Let M be a CR manifold of hypersurface type with single defining function F = 0. The Levi form of M, named after Eugenio Elia Levi, is the Hermitian 2 form
Бұл L-де метриканы анықтайды. Егер h оң анықталған (немесе h оң жартылай анықталған) болса, M қатаң псевдоконвекс (F < 0 жағынан) деп аталады. CR коллекторлары теориясындағы аналитикалық барлық және бірегейлік туралы көптеген нәтижелер псевдоконвексияға байланысты. Бұл терминология псевдоконвекс домендерді зерттеуден туындаған: M – егер және тек қана ол домен жағынан CR коллекторы ретінде (қатаң) псевдоконвекс болса, (қатаң) псевдоконвекс доменнің шекарасы. (Плюрисубармониялық функциялар және Штайн коллекторларын қараңыз.)
This determines a metric on L. M is said to be strictly pseudoconvex (from the side F<0) if h is positive definite (or pseudoconvex in case h is positive semidefinite). Many of the analytic existence and uniqueness results in the theory of CR manifolds depend on the pseudoconvexity. This nomenclature comes from the study of pseudoconvex domains: M is the boundary of a (strictly) pseudoconvex domain in if and only if it is (strictly) pseudoconvex as a CR manifold from the side of the domain. (See plurisubharmonic functions and Stein manifold.)
КР-дің тұжырымдамалық құрылымдары
Нақты өлшемді n нақты көпқырлы M-дегі абстрактілі CR құрылымы – күрделендірілген жанама шоғырдың күрделі ішкі шоғыры L, ол формальды түрде интегралданады, яғни [L, L] ⊂ L, және оның күрделі конъюгатымен қиылысы нөлге тең. CR құрылымының CR кодименсиясы – n - 2dim L, мұнда dim L – күрделі өлшем. Егер k = 1 болса, CR құрылымы гипербеттік типте деп аталады. Абстрактілі CR құрылымдарының көп бөлігі гипербеттік типте болады.
An abstract CR structure on a real manifold M of real dimension n consists of a complex subbundle L of the complexified tangent bundle which is formally integrable, in the sense that [L,L] ⊂ L, which has zero intersection with its complex conjugate. The CR codimension of the CR structure is where dim L is the complex dimension. In case k = 1, the CR structure is said to be of hypersurface type. Most examples of abstract CR structures are of hypersurface type.
Мысалдар
Ықшам CR көптүрлілігінің каноникалық мысалы – жоғарыда сипатталған бундельдің ішкі көптүрлілігі ретіндегі нақты сфера. Бұл бундель – голоморфты векторлардың бунделі. Оның нақты түрі мына түрде беріледі: , бұл нүктедегі нақты күрделі құрылым бойынша берілген , және күрделі құрылымдағы шамамен ғана шектеу. Сфера – тұрақты оң Вебстер қисықтығына және нөлдік Вебстер бұрылысына ие CR көптүрлілігінің мысалы. Гейзенберг тобы – нөлдік Вебстер бұрылысы мен нөлдік Вебстер қисықтығына ие, бірақ ықшам емес CR көптүрлілігінің мысалы. 1-ден қатаң үлкен генусы бар ықшам Риман беттеріндегі бірлік шеңбер бунделі де күшті псевдоконвекс, нөлдік Вебстер бұрылысына және тұрақты теріс Вебстер қисықтығына ие CR көптүрліліктерінің мысалдарын ұсынады. Бұл кеңістіктер геодезияны және көлемді салыстыру теоремаларын зерттеуде, Вебстер бұрылысы нөлге тең CR көптүрліліктеріндегі H.E. Rauch-қа ұқсас салыстыру кеңістіктері ретінде қолданылуы мүмкін. Соңғы жылдары Гейзенберг тобындағы талдаудың басқа да аспектілері зерттелді, мысалы, Гейзенберг тобындағы минималды беттер, Гейзенберг тобындағы Бернштейн проблемасы және қисықтық ағындары.
The canonical example of a compact CR manifold is the real sphere as a submanifold of The bundle described above is given by
where is the bundle of holomorphic vectors. The real form of this is given by , the bundle given at a point concretely in terms of the complex structure, , on by
and the almost complex structure on is just the restriction of The Sphere is an example of a CR manifold with constant positive Webster curvature and having zero Webster torsion. The Heisenberg group is an example of a non compact CR manifold with zero Webster torsion and zero Webster curvature. The unit circle bundle over compact Riemann surfaces with genus strictly greater than 1 also provides examples of CR manifolds which are strongly pseudoconvex and have zero Webster torsion and constant negative Webster curvature. These spaces can be used as comparison spaces in studying geodesics and volume comparison theorems on CR manifolds with zero Webster torsion akin to the H. E. Rauch comparison theorem in Riemannian Geometry. In recent years, other aspects of analysis on the Heisenberg group have been also studied, like minimal surfaces in the Heisenberg group, the Bernstein problem in the Heisenberg group and curvature flows.