Введение
В математике CR-многообразие, или многообразие Каши–Римана, — это дифференцируемое многообразие вместе с геометрической структурой, моделируемой на основе реальной гиперповерхности в комплексном векторном пространстве, или, в более общем случае, на ребре клина. Формально, CR-многообразие — это дифференцируемое многообразие M вместе с выделенным комплексным распределением L, или, другими словами, комплексным подпучком комплексифицированного касательного расслоения, таким что
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
(L формально интегрируемо)
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
Подпучок L называется CR-структурой на многообразии M.
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
Аббревиатура CR расшифровывается как "Cauchy–Riemann" или "Complex Real".
(L is formally integrable)
The subbundle L is called a CR structure on the manifold M.
The abbreviation CR stands for "Cauchy–Riemann" or "Complex Real".
Форма Леви
Пусть M — CR-многообразие гиперповерхностного типа с единственной определяющей функцией F = 0. Форма Леви многообразия M, названная в честь Эухенио Элии Леви, — это эрмитова 2-форма.
Она определяет метрику на L. Говорят, что M строго псевдоконвексна (со стороны F < 0), если h положительно определена (или псевдоконвексна, если h положительно полуопределена). Многие результаты об аналитическом существовании и единственности в теории CR-многообразий зависят от псевдоконвексности. Эта терминология восходит к изучению псевдоконвексных областей: M является границей (строго) псевдоконвексной области тогда и только тогда, когда она (строго) псевдоконвексна как CR-многообразие со стороны этой области. (См. плюрисубгармонические функции и многообразие Штейна.)
Абстрактные структуры CR
Абстрактная CR-структура на вещественном многообразии M вещественной размерности n состоит из комплексного подпучка L комплексно-касательного расслоения, который формально интегрируем, в том смысле, что [L, L] ⊂ L, и имеет нулевое пересечение со своим комплексно сопряженным. CR-коразмерность CR-структуры равна n - 2dim L, где dim L – комплексная размерность. В случае k = 1, CR-структура называется гиперповерхностного типа. Большинство примеров абстрактных CR-структур являются гиперповерхностными.
Примеры
Каноническим примером компактного CR-многообразия является вещественная сфера как подмногообразие. Описанный выше расслоение задается выражением
where is the bundle of holomorphic vectors. The real form of this is given by , the bundle given at a point concretely in terms of the complex structure, , on by
and the almost complex structure on is just the restriction of The Sphere is an example of a CR manifold with constant positive Webster curvature and having zero Webster torsion. The Heisenberg group is an example of a non compact CR manifold with zero Webster torsion and zero Webster curvature. The unit circle bundle over compact Riemann surfaces with genus strictly greater than 1 also provides examples of CR manifolds which are strongly pseudoconvex and have zero Webster torsion and constant negative Webster curvature. These spaces can be used as comparison spaces in studying geodesics and volume comparison theorems on CR manifolds with zero Webster torsion akin to the H. E. Rauch comparison theorem in Riemannian Geometry. In recent years, other aspects of analysis on the Heisenberg group have been also studied, like minimal surfaces in the Heisenberg group, the Bernstein problem in the Heisenberg group and curvature flows.
где — расслоение голоморфных векторов. Его вещественная форма задается , расслоением, определенным в точке конкретно в терминах комплексной структуры , на , а почти комплексная структура на является просто ограничением. Сфера является примером CR-многообразия с постоянной положительной кривизной Вебстера и нулевым кручением Вебстера. Группа Гейзенберга является примером некомпактного CR-многообразия с нулевым кручением Вебстера и нулевой кривизной Вебстера. Расслоение единичных окружностей над компактными римановыми поверхностями рода строго большего 1 также предоставляет примеры CR-многообразий, которые сильно псевдовыпуклы и имеют нулевое кручение Вебстера и постоянную отрицательную кривизну Вебстера. Эти пространства могут использоваться в качестве пространств сравнения при изучении геодезических и теорем сравнения объемов на CR-многообразиях с нулевым кручением Вебстера, аналогично теореме сравнения Х.Э. Рауха в римановой геометрии. В последние годы изучались и другие аспекты анализа на группе Гейзенберга, такие как минимальные поверхности в группе Гейзенберга, проблема Бернштейна в группе Гейзенберга и потоки кривизны.
where is the bundle of holomorphic vectors. The real form of this is given by , the bundle given at a point concretely in terms of the complex structure, , on by
and the almost complex structure on is just the restriction of The Sphere is an example of a CR manifold with constant positive Webster curvature and having zero Webster torsion. The Heisenberg group is an example of a non compact CR manifold with zero Webster torsion and zero Webster curvature. The unit circle bundle over compact Riemann surfaces with genus strictly greater than 1 also provides examples of CR manifolds which are strongly pseudoconvex and have zero Webster torsion and constant negative Webster curvature. These spaces can be used as comparison spaces in studying geodesics and volume comparison theorems on CR manifolds with zero Webster torsion akin to the H. E. Rauch comparison theorem in Riemannian Geometry. In recent years, other aspects of analysis on the Heisenberg group have been also studied, like minimal surfaces in the Heisenberg group, the Bernstein problem in the Heisenberg group and curvature flows.