Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Лагранж Грасманны — нақты симплектік векторлық кеңістік V-нің Лагранж подкеңістіктерінің тегіс манифолды. Оның өлшемі n(n + 1) (мұнда V-нің өлшемі 2n). Оны U(n)/O(n) біртекті кеңістігімен сәйкестендіруге болады, мұнда U(n) — унитарлық топ, ал O(n) — ортогоналдық топ. Владимир Арнольд бойынша ол Λ(n) деп белгіленеді. Лагранж Грасманны — V Грасманның подманифолды болып табылады. Күрделі Лагранж Грасманны — 2n өлшемді күрделі симплектік векторлық кеңістік V-нің Лагранж подкеңістіктерінің күрделі біртекті манифолды. Оны n(n + 1) өлшемді Sp(n)/U(n) біртекті кеңістігімен сәйкестендіруге болады, мұнда Sp(n) — ықшам симплектік топ.
In mathematics, the Lagrangian Grassmannian is the smooth manifold of Lagrangian subspaces of a real symplectic vector space V. Its dimension is n(n + 1) (where the dimension of V is 2n). It may be identified with the homogeneous space
U(n)/O(n),
where U(n) is the unitary group and O(n) the orthogonal group. Following Vladimir Arnold it is denoted by Λ(n). The Lagrangian Grassmannian is a submanifold of the ordinary Grassmannian of V.
A complex Lagrangian Grassmannian is the complex homogeneous manifold of Lagrangian subspaces of a complex symplectic vector space V of dimension 2n. It may be identified with the homogeneous space of complex dimension n(n + 1)
Sp(n)/U(n),
where Sp(n) is the compact symplectic group.
Біртекті кеңістік ретінде
Лагранж Грасманн Λ(n) кешені U(n)/O(n) кешенімен сәйкестендіріледі. Бұл 2n өлшемді нақты векторлық кеңістік екенін ескеріңіз, оның стандартты ішкі көбейтіндісінің жорамал бөлігі оны симплектілік векторлық кеңістікке айналдырады. Лагранж субкеңістіктері – ішкі көбейтіндісінің жорамал бөлігі нөлге тең болатын n нақты өлшемді нақты субкеңістіктер. Мысалы, U(n) бірлік тобы осы субкеңістіктер жиынында транзитивті әрекет етеді, ал бірлік тобының тұрақтандырғышы – ортогоналды топ O(n). Біртекті кеңістіктер теориясынан Λ(n) U(n) / O(n) біртекті кеңістігі ретінде U(n) кешеніне изоморфты екені шығады.
To see that the Lagrangian Grassmannian Λ(n) can be identified with U(n)/O(n), note that is a 2n dimensional real vector space, with the imaginary part of its usual inner product making it into a symplectic vector space. The Lagrangian subspaces of are then the real subspaces of real dimension n on which the imaginary part of the inner product vanishes. An example is The unitary group U(n) acts transitively on the set of these subspaces, and the stabilizer of is the orthogonal group It follows from the theory of homogeneous spaces that Λ(n) is isomorphic to U(n)/O(n) as a homogeneous space of U(n).
Маслов индексі
Симплектикалық векторлық кеңістіктің симплектоморфизмдер жолы Маслов индексімен сипатталуы мүмкін, бұл индекс В. П. Масловтың есімімен аталады; егер жол цикл болса, онда ол бүтін сан болады, ал жалпы жағдайда – жартылай бүтін сан. Егер бұл жол симплектикалық көптүрліліктегі Гамильтондық векторлық өрістің периодтық орбитасы арқылы симплектикалық векторлық шоғырды немесе контакттық көптүрліліктегі Риб векторлық өрісін қарапайымдаудан туындаса, ол Конли-Зендер индексі деп аталады. Ол Флор гомологиясында қолданылатын Коши-Риманн типіндегі операторлардың спектральдік ағынын есептейді. Бұл индекс алғаш рет WKB жуықтауын зерттеуде пайда болды және кванттау, кванттық хаос із формулалары, сондай-ақ симплектикалық геометрия мен топологияны зерттеуде жиі кездеседі. Оны сызықтық Лагранж ішкі көптүрліліктері үшін Маслов индексі арқылы жоғарыда сипатталғандай түсіндіруге болады.
A path of symplectomorphisms of a symplectic vector space may be assigned a Maslov index, named after V. P. Maslov; it will be an integer if the path is a loop, and a half integer in general. If this path arises from trivializing the symplectic vector bundle over a periodic orbit of a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold or the Reeb vector field on a contact manifold, it is known as the Conley–Zehnder index. It computes the spectral flow of the Cauchy–Riemann type operators that arise in Floer homology. It appeared originally in the study of the WKB approximation and appears frequently in the study of quantization, quantum chaos trace formulas, and in symplectic geometry and topology. It can be described as above in terms of a Maslov index for linear Lagrangian submanifolds.