Введение

В математике, лагранжианский грассманиан — гладное многообразие лагранжевых подпространств реального симплектического векторного пространства V. Его размерность равна n(n + 1) (где размерность V равна 2n). Он может быть отождествлен с однородным пространством

U(n)/O(n),

где U(n) — унитарная группа, а O(n) — ортогональная группа. По аналогии с обозначением Владимира Арнольда, он обозначается Λ(n). Лагранжианский грассманиан является подмногообразием обычного грассманиана пространства V.

Комплексный лагранжианский грассманиан — это комплексное однородное многообразие лагранжевых подпространств комплексного симплектического векторного пространства V размерности 2n. Он может быть отождествлен с однородным пространством комплексной размерности n(n + 1)

Sp(n)/U(n),

где Sp(n) — компактная симплектическая группа.

Как однородное пространство

Чтобы увидеть, что лагранжевый грассманиан Λ(n) можно отождествить с U(n)/O(n), заметим, что является 2n-мерным вещественным векторным пространством, а мнимая часть его обычного скалярного произведения наделяет его структурой симплектического векторного пространства. Лагранжевы подпространства являются тогда вещественными подпространствами вещественной размерности n, на которых мнимая часть скалярного произведения обращается в ноль. Примером может служить . Унитарная группа U(n) действует транзитивно на множестве этих подпространств, а стабилизатором является ортогональная группа O(n). Из теории однородных пространств следует, что Λ(n) изоморфен U(n)/O(n) как однородное пространство U(n).

Индекс Маслова

Пути симплектоморфизмов симплектического векторного пространства можно сопоставить индекс Маслова, названный в честь В. П. Маслова; он будет целым числом, если путь является петлей, и полуцелым в общем случае. Если этот путь возникает при тривиализации симплектического векторного расслоения над периодической орбитой гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии или векторного поля Риба на контактном многообразии, он известен как индекс Конли — Зе́ндера. Он вычисляет спектральный поток операторов типа Коши — Римана, возникающих в гомологии Флоера. Он впервые появился в исследовании приближения ВKB и часто встречается в исследованиях квантования, формул следа квантового хаоса, а также в симплектической геометрии и топологии. Его можно описать, как указано выше, в терминах индекса Маслова для линейных лагранжевых подмногообразий.