Кіріспе
Математикалық функциялар класы
Математикада субгармониялық және супергармониялық функциялар – бөлшекті дифференциалдық теңдеулерде, комплекс анализде және потенциал теориясында кеңінен қолданылатын функциялардың маңызды кластары болып табылады. Интуитивті түрде, субгармониялық функциялар бір айнымалының дөңес функцияларымен былай байланысты: егер дөңес функцияның графигі және түзу екі нүктеде қиылысса, онда дөңес функцияның графигі сол нүктелер арасындағы түзудің астында жатады. Сол сияқты, егер субгармониялық функцияның мәндері шардың шекарасындағы гармониялық функцияның мәндерінен артық болмаса, онда субгармониялық функцияның мәндері шардың ішіндегі гармониялық функцияның мәндерінен де артық болмайды. Супергармониялық функциялар да осы сипаттамамен анықталады, бірақ "артық болмаса" деген сөз "кем болмаса" деп ауыстырылады. Басқаша айтқанда, супергармониялық функция – субармониялық функцияның теріс мәні, сондықтан субармониялық функциялардың кез келген қасиеттерін супергармониялық функцияларға оңай көшіруге болады.
In mathematics, subharmonic and superharmonic functions are important classes of functions used extensively in partial differential equations, complex analysis and potential theory. Intuitively, subharmonic functions are related to convex functions of one variable as follows. If the graph of a convex function and a line intersect at two points, then the graph of the convex function is below the line between those points. In the same way, if the values of a subharmonic function are no larger than the values of a harmonic function on the boundary of a ball, then the values of the subharmonic function are no larger than the values of the harmonic function also inside the ball. Superharmonic functions can be defined by the same description, only replacing "no larger" with "no smaller". Alternatively, a superharmonic function is just the negative of a subharmonic function, and for this reason any property of subharmonic functions can be easily transferred to superharmonic functions.
Ресми анықтама
Анықтаманы ресми түрде былай беруге болады. Евклид кеңістігінің ішкі жиыны болсын және жоғарғы жартылай үздіксіз функция болсын. Егер кез келген орталығы мен радиусы кішкентай шар үшін, бұл шар жиынға толығымен кірсе, және жиындағы кез келген нақты мәнді үздіксіз функция, шар ішінде гармониялық болып, шекарасындағы барлық нүктелерде мәні берілсе, онда шардың барлық нүктелерінде теңсіздік орындалса, онда функция субармониялық деп аталады.
be an upper semi continuous function. Then, is called subharmonic if for any closed ball of center and radius contained in and every real valued continuous function on that is harmonic in and satisfies for all on the boundary of , we have for all
Note that by the above, the function which is identically −∞ is subharmonic, but some authors exclude this function by definition. A function is called superharmonic if is subharmonic.
Ескеріңіз, жоғарыда айтылғанға сәйкес, тұрақты −∞ функциясы субармониялық болып табылады, бірақ кейбір авторлар оны анықтамасы бойынша алып тастайды. Егер функция субармониялық болса, онда ол супергармониялық деп аталады.
be an upper semi continuous function. Then, is called subharmonic if for any closed ball of center and radius contained in and every real valued continuous function on that is harmonic in and satisfies for all on the boundary of , we have for all
Note that by the above, the function which is identically −∞ is subharmonic, but some authors exclude this function by definition. A function is called superharmonic if is subharmonic.
Қасиеттері
Функция гармониялық деп, егер ол субгармониялық және супергармониялық болса ғана айтылады. Егер функция ашық жиынтықта екі рет үздіксіз дифференциалданатын (C2) болса, онда ол субгармониялық болады, егер және тек қана егер Лапласиан бойынша теңсіздік орындалса. Субгармониялық функцияның максимумы доменінің ішкі бөлігінде қол жеткізілмейді, егер функция тұрақты болмаса, бұл максимум принципі деп аталады. Дегенмен, субгармониялық функцияның минимумы доменінің ішкі бөлігінде қол жеткізіле алады. Субгармониялық функциялар дөңес конус құрайды, яғни оң коэффициенттері бар субгармониялық функциялардың сызықтық комбинациясы да субгармониялық болады. Екі субгармониялық функцияның нүктелік максимумы субгармониялық болады. Егер субгармониялық функциялардың санаулы санының нүктелік максимумы жоғары жартылай үздіксіз болса, онда ол да субгармониялық болады. Субгармониялық функциялардың азаятын тізбегінің лимиті субгармониялық болады (немесе бірдей тең). Субгармониялық функциялар әдеттегі топологияда міндетті түрде үздіксіз болмайды, бірақ оларды үздіксіз ететін нақты топологияны енгізуге болады.
Мысалдар
Егер функция аналитикалық болса, онда ол субармониялық болады. Жоғарыда келтірілген қасиеттерді қолдану арқылы, максимумдарды, дөңгелек комбинацияларды және лимиттерді пайдаланып, одан да көп мысалдар құрастыруға болады. Бір өлшемде барлық субармониялық функцияларды осылай алуға болады.
by taking maxima, convex combinations and limits. In dimension 1, all subharmonic functions can be obtained in this way.
Субгармониялық функциялардың гармониялық мажоранттары
Егер кешен жазықтығының аймағында субгармониялық болса, ал - аймақта гармониялық болса, онда - аймақта функциясының гармониялық жоғары шегі болады, егер болса. Мұндай теңсіздікті функциясының өсу шарты ретінде қарастыруға болады.
Риманның көптүрліліктері бойынша субармониялық функциялар
Субгармониялық функцияларды кез келген Риманн көптігінде анықтауға болады. Анықтама: M – Риманн көптігі болсын, ал f – жоғарғы жартылай үздіксіз функция. Кез келген ашық ішкі жиын U және U-дағы кез келген гармоникалық функция f1 үшін, егер f1 U-дың шекарасындағы мәніне тең болса, онда U-дың барлық нүктелерінде f ≤ f1 теңсіздігі орындалады. Онда f субгармониялық деп аталады. Бұл анықтама жоғарыда келтірілген анықтамамен эквивалентті. Сондай-ақ, екі рет дифференциалданатын функциялар үшін субгармониялық жағдай, лапласиандық операторы арқылы берілетін теңсіздікке эквивалентті.