Введение

Класс математических функций
В математике субармонические и супергармонические функции — важные классы функций, широко используемые в уравнениях в частных производных, комплексном анализе и теории потенциала. Интуитивно, субармонические функции связаны с выпуклыми функциями одной переменной следующим образом. Если график выпуклой функции и прямая пересекаются в двух точках, то график выпуклой функции лежит ниже этой прямой между этими точками. Аналогично, если значения субармонической функции не превышают значения гармонической функции на границе шара, то значения субармонической функции не превышают значения гармонической функции и внутри шара. Супергармонические функции можно определить тем же описанием, просто заменив "не превышают" на "не меньше". В качестве альтернативы, супергармоническая функция является отрицанием субармонической функции, и по этой причине любое свойство субармонических функций можно легко перенести на супергармонические функции.

Формальное определение

Формально определение можно сформулировать следующим образом. Пусть — подмножество евклидова пространства , и пусть — верхняя полунепрерывная функция. Тогда функция называется субармонической, если для любого замкнутого шара с центром и радиусом , содержащегося в , и для каждой вещественнозначной непрерывной функции на , гармоничной в и удовлетворяющей условию для всех на границе , выполняется неравенство для всех .

Следует отметить, что согласно вышесказанному, функция, тождественно равная −∞, является субармонической, однако некоторые авторы исключают эту функцию из определения. Функция называется супергармонической, если является субармонической.

Свойства

Функция является гармонической тогда и только тогда, когда она одновременно субармоническая и супергармоническая. Если функция дважды непрерывно дифференцируема (C2) на открытом множестве в , то она субармоническая тогда и только тогда, когда выполняется условие на , где – лапласиан. Максимум субармонической функции не может быть достигнут во внутренней области её определения, если функция не является постоянной, что называется принципом максимума. Однако минимум субармонической функции может быть достигнут во внутренней области её определения. Субармонические функции образуют выпуклый конус, то есть линейная комбинация субармонических функций с положительными коэффициентами также является субармонической. Поточечный максимум двух субармонических функций является субармоническим. Если поточечный максимум счётного числа субармонических функций верхним полунепрерывен, то он также является субармоническим. Предел убывающей последовательности субармонических функций является субармоническим (или тождественно равен ). Субармонические функции не обязательно непрерывны в обычной топологии, однако можно ввести тонкую топологию, которая делает их непрерывными.

Примеры

Если функция аналитична, то она субармонична. Больше примеров можно построить, используя свойства, перечисленные выше, взятием максимумов, выпуклых комбинаций и пределов. В одномерном случае все субармонические функции могут быть получены таким образом.

Мажоранты субгармонических функций

Если функция φ субармонична в области D комплексной плоскости, а функция ψ гармонична на D, то ψ является гармоническим мажорантом для φ в D, если φ ≤ ψ в D. Такое неравенство можно рассматривать как условие роста для φ.

Субгармонические функции на римановских многообразиях

Субгармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии. Определение: Пусть M — риманово многообразие, а f — верхняя полунепрерывная функция. Предположим, что для любого открытого подмножества U и любой гармонической функции f1 на U, такой что f1 = f на границе U, выполняется неравенство f1 ≥ f на всем U. Тогда f называется субармонической. Это определение эквивалентно приведенному выше. Также для дважды дифференцируемых функций субармоничность эквивалентна неравенству f ≤ Δf, где Δ — обычный оператор Лапласа.