Фоккердің периодтық блоктары: Жақсы интонация мен тең темперамент арасындағы математикалық байланыс
Fokker periodicity block
Фоккердің периодтық блоктары: музыкалық интервалдарды жақсы интонациядағы тең настройкамен математикалық түрде байланыстыратын теория. Интервалдар, қадамдар, торлар талқыланады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Фокердің кезеңділік блоктары – музыкалық интервалдарды таза интонациядағы және тең темперациядағы арақатынастарды математикалық тұрғыдан байланыстыратын көйлеу теориясындағы ұғым. Олар Адриаан Даниэль Фоккердің құрметіне аталған. Бұл түсініктер Эрв Уилсон тұрақты құрылымдар деп атаған нәрселердің негізгі кіші жиыны болып табылады, онда «әр интервал әрқашан бірдей қадамдар санымен шектеледі». Фокердің кезеңділік блоктарының негізгі идеясы – таза арақатынастарды тордағы нүктелер ретінде бейнелеу және тордағы өте кішкентай аралықтарды көрсететін векторларды табу, бұл аралықтар «комма» деп аталады. Комма арқылы бөлінген биіктіктерді эквивалентті деп есептеу торды «қайырады», оның өлшемін бірге азайтады; математикалық тұрғыдан алғанда, бұл бастапқы тордың коммага құрылған кіші торға қатысты бөліндік тобын табуға сәйкес келеді. n өлшемді тор үшін n сызықтық тәуелсіз коммаганы анықтау тордың өлшемін нөлге дейін азайтады, яғни тордағы биіктіктер саны шекті болады; математикалық тұрғыдан оның бөліндісі шекті абелдік топ болып табылады. Бұл нөлдік өлшемді биіктіктер жиынтығы – кезеңділік блок. Көбінесе ол циклдік топты құрайды, мұндай жағдайда кезеңділік блогының m биіктігін m тең темперациямен сәйкестендіру бастапқы торды анықтаған таза арақатынастардың тең темперацияға жуықтап келтірілген шамаларын береді. Ескерілетін мәселе, октавалар әдетте кезеңділік блоктарын құрастыру кезінде ескерілмейді (себебі олар масштабтар теориясында жалпы қолданылады), өйткені кез келген көйлеу жүйесінде кез келген биіктіктен бірнеше октавамен ерекшеленетін барлық биіктіктер де қағидатта қол жетімді деп есептеледі. Басқаша айтқанда, барлық биіктіктер мен интервалдарды октава бойынша қалдықтар ретінде қарастыруға болады. Бұл оңайлату әдетте октавалық эквиваленттілік деп аталады.
Fokker periodicity blocks are a concept in tuning theory used to mathematically relate musical intervals in just intonation to those in equal tuning. They are named after Adriaan Daniël Fokker. These are included as the primary subset of what Erv Wilson refers to as constant structures, where "each interval occurs always subtended by the same number of steps". The basic idea of Fokker's periodicity blocks is to represent just ratios as points on a lattice, and to find vectors in the lattice which represent very small intervals, known as commas. Treating pitches separated by a comma as equivalent "folds" the lattice, effectively reducing its dimension by one; mathematically, this corresponds to finding the quotient group of the original lattice by the sublattice generated by the commas. For an n dimensional lattice, identifying n linearly independent commas reduces the dimension of the lattice to zero, meaning that the number of pitches in the lattice is finite; mathematically, its quotient is a finite abelian group. This zero dimensional set of pitches is a periodicity block. Frequently, it forms a cyclic group, in which case identifying the m pitches of the periodicity block with m equal tuning gives equal tuning approximations of the just ratios that defined the original lattice. Note that octaves are usually ignored in constructing periodicity blocks (as they are in scale theory generally) because it is assumed that for any pitch in the tuning system, all pitches differing from it by some number of octaves are also available in principle. In other words, all pitches and intervals can be considered as residues modulo octave. This simplification is commonly known as octave equivalence.
Мысалдар
1-ші мысал: 2 өлшемді торапты алып, таза бестіктерді (3/2 қатынасы) және тек үлкен үштіктерді (5/4 қатынасы) алыңыз. 128/125 (диэзис, үш таза үлкен үштік октавадан неше есе кем екендігі, шамамен 41 цент) және 81/80 (синтоникалық үтір, төрт таза бестік пен таза үлкен үштік арасындағы айырмашылық, шамамен 21,5 цент) үтірлерін таңдаңыз. Нәтижесінде он екі блок пайда болады, бұл он екі тонды тең темпераменттің 5 лимит қатынастарын қалай жуықтататынын көрсетеді. 2-мысал: Дегенмен, егер біз диэзисті унисондық вектор ретінде қабылдамасақ және оның орнына бес үлкен үштік (октавадан кем) пен төртінші арасындағы айырмашылықты, 3125/3072 (шамамен 30 цент) таңдасақ, нәтиже 19 блок болады, бұл 19 TET 5 лимит қатынастарын қалай жуықтататынын көрсетеді. 3-мысал: 3 өлшемді торапта таза бестіктер, таза үлкен үштіктер және таза кіші жетіліктер (7/4 қатынасы) болғанда, синтоникалық үтірді, септималық клейзманы (225/224, шамамен 8 цент) және 1029/1024 қатынасын (үш септималық толық тон мен таза бестік арасындағы айырмашылық, шамамен 8,4 цент) анықтау нәтижесінде 31 блок пайда болады, бұл 31 TET 7 лимит қатынастарын қалай жуықтататынын көрсетеді.
Example 1: Take the 2 dimensional lattice of perfect fifths (ratio 3/2) and just major thirds (ratio 5/4). Choose the commas 128/125 (the diesis, the distance by which three just major thirds fall short of an octave, about 41 cents) and 81/80 (the syntonic comma, the difference between four perfect fifths and a just major third, about 21.5 cents). The result is a block of twelve, showing how twelve tone equal temperament approximates the ratios of the 5 limit. Example 2: However, if we were to reject the diesis as a unison vector and instead choose the difference between five major thirds (minus an octave) and a fourth, 3125/3072 (about 30 cents), the result is a block of 19, showing how 19 TET approximates ratios of the 5 limit. Example 3: In the 3 dimensional lattice of perfect fifths, just major thirds, and just minor sevenths (ratio 7/4), the identification of the syntonic comma, the septimal kleisma (225/224, about 8 cents), and the ratio 1029/1024 (the difference between three septimal whole tones and a perfect fifth, about 8.4 cents) results in a block of 31, showing how 31 TET approximates ratios of the 7 limit.