Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Блоки периодичности Фокера — это концепция в теории настройки, используемая для математического соотнесения музыкальных интервалов в справедливой интонации с интервалами в равной темперации. Они названы в честь Адриаана Даниэля Фокера. Они входят в состав основного подмножества того, что Эрв Уилсон называет постоянными структурами, где «каждый интервал всегда определяется одним и тем же количеством шагов». Основная идея блоков периодичности Фокера заключается в представлении справедливых отношений как точек на решетке и поиске векторов в этой решетке, представляющих очень малые интервалы, известные как коммы. Рассматривая звуки, разделенные коммой, как эквивалентные, решетка «сворачивается», эффективно уменьшая ее размерность на единицу; математически это соответствует нахождению фактор-группы исходной решетки по подрешетке, порожденной коммами. Для n-мерной решетки, отождествление n линейно независимых комм уменьшает размерность решетки до нуля, что означает, что число звуков в решетке конечно; математически, ее фактор-группа является конечной абелевой группой. Этот набор звуков нулевой размерности и есть блок периодичности. Часто он образует циклическую группу, в этом случае отождествление m звуков блока периодичности с m равными настройками дает приближения справедливых отношений в равной темперации, которые определяли исходную решетку. Следует отметить, что октавы обычно игнорируются при построении блоков периодичности (как это происходит в теории лада в целом), поскольку предполагается, что для любого звука в системе настройки все звуки, отличающиеся от него на некоторое число октав, также доступны в принципе. Иными словами, все звуки и интервалы можно рассматривать как вычеты по модулю октавы. Это упрощение обычно называют октавной эквивалентностью.
Fokker periodicity blocks are a concept in tuning theory used to mathematically relate musical intervals in just intonation to those in equal tuning. They are named after Adriaan Daniël Fokker. These are included as the primary subset of what Erv Wilson refers to as constant structures, where "each interval occurs always subtended by the same number of steps". The basic idea of Fokker's periodicity blocks is to represent just ratios as points on a lattice, and to find vectors in the lattice which represent very small intervals, known as commas. Treating pitches separated by a comma as equivalent "folds" the lattice, effectively reducing its dimension by one; mathematically, this corresponds to finding the quotient group of the original lattice by the sublattice generated by the commas. For an n dimensional lattice, identifying n linearly independent commas reduces the dimension of the lattice to zero, meaning that the number of pitches in the lattice is finite; mathematically, its quotient is a finite abelian group. This zero dimensional set of pitches is a periodicity block. Frequently, it forms a cyclic group, in which case identifying the m pitches of the periodicity block with m equal tuning gives equal tuning approximations of the just ratios that defined the original lattice. Note that octaves are usually ignored in constructing periodicity blocks (as they are in scale theory generally) because it is assumed that for any pitch in the tuning system, all pitches differing from it by some number of octaves are also available in principle. In other words, all pitches and intervals can be considered as residues modulo octave. This simplification is commonly known as octave equivalence.
Примеры
Пример 1: Возьмите двумерную решетку, состоящую из идеальных квинт (соотношение 3/2) и чистых больших терций (соотношение 5/4). Выберите диэзис 128/125 (расстояние, на которое три чистые большие терции не дотягивают до октавы, примерно 41 цент) и синтоническую запятую 81/80 (разница между четырьмя идеальными квинтами и чистой большой терцией, примерно 21,5 цента). В результате получается блок из двенадцати, демонстрирующий, как двенадцатитоновый равный темперамент аппроксимирует соотношения предела 5. Пример 2: Однако, если отказаться от диэзиса как от унисонного вектора и вместо этого выбрать разницу между пятью большими терциями (минус октава) и квартой, 3125/3072 (около 30 центов), результатом станет блок из 19, показывающий, как 19 TET аппроксимирует соотношения предела 5. Пример 3: В трехмерной решетке, состоящей из идеальных квинт, чистых больших терций и чистых малых септим (соотношение 7/4), идентификация синтонической запятой, септимальной клейзмы (225/224, около 8 центов) и соотношения 1029/1024 (разница между тремя септимальными целыми тонами и идеальной квинтой, около 8,4 центов) приводит к блоку из 31, демонстрирующему, как 31 TET аппроксимирует соотношения предела 7.
Example 1: Take the 2 dimensional lattice of perfect fifths (ratio 3/2) and just major thirds (ratio 5/4). Choose the commas 128/125 (the diesis, the distance by which three just major thirds fall short of an octave, about 41 cents) and 81/80 (the syntonic comma, the difference between four perfect fifths and a just major third, about 21.5 cents). The result is a block of twelve, showing how twelve tone equal temperament approximates the ratios of the 5 limit. Example 2: However, if we were to reject the diesis as a unison vector and instead choose the difference between five major thirds (minus an octave) and a fourth, 3125/3072 (about 30 cents), the result is a block of 19, showing how 19 TET approximates ratios of the 5 limit. Example 3: In the 3 dimensional lattice of perfect fifths, just major thirds, and just minor sevenths (ratio 7/4), the identification of the syntonic comma, the septimal kleisma (225/224, about 8 cents), and the ratio 1029/1024 (the difference between three septimal whole tones and a perfect fifth, about 8.4 cents) results in a block of 31, showing how 31 TET approximates ratios of the 7 limit.