Кіріспе
Математикада, әсіресе сақиналар теориясы саласында, R сақинасы инвариантты негіз саны (IBN) қасиетіне ие, егер R үстіндегі барлық шекті түрде жасалған еркін сол модульдердің анықталған ранги болса. Егер R өріс болса, онда IBN қасиеті шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің жалғыз ғана өлшемге ие екенін білдіреді.
Анықтама
R сақинасы инвариантты негіз санына (IBN) ие, егер кез келген оң бүтін сандар m және n үшін Rm, Rn-ге (сол R модульдері ретінде) изоморфты болса, онда 1 = m = n болады. Басқаша айтқанда, Rm мен Rn изоморфты болатын әртүрлі оң бүтін сандар m және n жоқ. Инвариантты негіз санының анықтамасын матрицалар арқылы қайта формулирлесек, мынадай жағдайларда: егер A – R сақинасынан алынған m × n матрицасы, ал B – R сақинасынан алынған n × m матрицасы болса және AB = I және BA = I теңдіктері орындалса, онда 1 = m = n болады. Бұл форма анықтаманың сол-оң симметриялы екенін көрсетеді, сондықтан IBN-ді сол жақтан немесе оң жақтан модульдер арқылы анықтау маңызды емес; екі анықтама да эквивалентті. Анықтамадағы изоморфизмдер сақина изоморфизмі емес, модуль изоморфизмі екенін ескеру қажет, тіпті m немесе n-нің бірі 1-ге тең болса да.
Equivalently, this means there do not exist distinct positive integers m and n such that Rm is isomorphic to Rn. Rephrasing the definition of invariant basis number in terms of matrices, it says that, whenever A is an m by n matrix over R and B is an n by m matrix over R such that 1=AB = I and 1=BA = I, then 1=m = n. This form reveals that the definition is left–right symmetric, so it makes no difference whether we define IBN in terms of left or right modules; the two definitions are equivalent. Note that the isomorphisms in the definitions are not ring isomorphisms, they are module isomorphisms, even when one of n or m is 1.
Қасиеттері
ИНВАРИАНТТЫҚ АЛТЫМНЫҢ ТАЛЫМЫ: IBN сақинасындағы еркін модульдер векторлық кеңістіктерге арналған өлшем теоремасының аналогын қанағаттандырады: IBN сақинасындағы еркін модульдің кез келген екі негізі бірдей кардиналдыққа ие. Ультрафильтр леммасын (таңдау аксиомасының қатаң әлсіз түрі) қабылдағанда, бұл нәтиже шын мәнінде осы жерде берілген анықтамаға эквивалентті және оны баламалы анықтама ретінде қарастыруға болады. IBN сақинасы R үшін, Rn еркін модулінің рангі – Rn-ге изоморфты кез келген (демек, барлық) R модулі Rm-нің экспонентасы m-нің кардиналдығы ретінде анықталады. Осылайша, IBN қасиеті еркін R модульдерінің әрбір изоморфизм класының бірегей рангі болатынын білдіреді. IBN шартын қанағаттандырмайтын сақиналар үшін рангі анықталмайды. Векторлық кеңістіктерде ранг өлшем деп те аталады. Жоғарыда айтылған нәтижені қысқаша былай қорытындылауға болады: ранг барлық еркін R модульдері үшін бірегей түрде анықталса, онда ол шекті түрде жасалған еркін R модульдері үшін де бірегей түрде анықталады.
Мысалдар
Кез келген өріс IBN шартын қанағаттандырады, және бұл шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің жақсы анықталған өлшемге ие екендігін білдіреді. Сонымен қатар, кез келген коммутативтік сақина (нөлдік сақинадан басқа) IBN шартын қанағаттандырады, сондай-ақ сол жақтан Noetherian сақинасы және кез келген жартылай жергілікті сақина да. A коммутативтік сақина болсын және A модульдік изоморфизмнің бар екенін жорамалдайық. An-ның канондық негізі болсын, яғни i-інші орында біреуден басқа барлық элементтер нөлге тең. Крулл теоремасы бойынша, I – A-ның максималды дұрыс идеалы болсын және An A модульдік гомоморфизмі, себебі I идеал болып табылады. Осыдан f, A/I модульдік гомоморфизмін тудырады, оның изоморфизм екенін оңай дәлелдеуге болады. A/I өріс болғандықтан, f''' шекті өлшемді векторлық кеңістіктер арасындағы изоморфизм болады, сондықтан 1=n = p.
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
IBN шартын қанағаттандырмайтын нөлдік емес сақинаның мысалы – бағандық шекті матрицалар сақинасы, яғни R сақинасындағы коэффициенттері бар, индекстері арқылы белгіленген және әр бағанында тек шекті түрде нөлдік емес элементтері бар матрицалар. Соңғы талап шексіз матрицалардың көбейтіндісін MN анықтауға мүмкіндік береді, осымен сақиналық құрылым беріледі. Сол жақ модульдік изоморфизм мына түрде беріледі:
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
Бұл шексіз матрица сақинасы R сақинасы үстінен саналатын рангі бар оң жақты бос модульдің эндоморфизміне изоморф болып шығады. Осы изоморфизмнен, (қысқарту арқылы) S ≅ Sn кез келген оң бүтін n үшін және, демек, Sn ≅ Sm кез келген екі оң бүтін m және n үшін екенін көрсетуге болады. Бұл қасиетсіз IBN емес сақиналардың басқа да мысалдары бар, соның ішінде Левитт алгебралары да бар.
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
Басқа нәтижелер
IBN – нөлдік бөлгіштері жоқ сақинаның бөліну сақинасына енуі үшін қажетті (бірақ жеткілікті емес) жағдай (коммутативтік жағдайда бөлшектер өрісімен салыстырыңыз). Сондай-ақ, Оре шартын қараңыз. Кез келген тривиалды емес бөліну сақинасының немесе тұрақты шекті сақинаның инвариантты негіз саны болады. Ранг шартын қанағаттандыратын (яғни, шексіз генерациялық саны бар) кез келген сақинаның инвариантты негіз саны болуы керек.