Введение
В математике, и в частности в теории колец, кольцо R обладает свойством инвариантного базисного числа (IBN), если все конечно порожденные свободные левые модули над R имеют однозначно определенный ранг. В случае полей, свойство IBN сводится к утверждению, что конечномерные векторные пространства имеют единственную размерность.
Определение
Кольцо R имеет инвариантный базисный номер (IBN), если для всех положительных целых чисел m и n, из изоморфизма Rm и Rn как левых R-модулей следует, что m = n = 1.
Эквивалентно, это означает, что не существует различных положительных целых чисел m и n, таких что Rm изоморфен Rn. Перефразируя определение инвариантного базисного числа в терминах матриц, можно сказать, что если A – матрица размера m × n над R, а B – матрица размера n × m над R, такие что AB = I и BA = I, то m = n = 1. Эта форма показывает, что определение симметрично относительно левых и правых модулей, поэтому не имеет значения, определять IBN в терминах левых или правых модулей; оба определения эквивалентны. Следует отметить, что изоморфизмы в определениях – это не изоморфизмы колец, а изоморфизмы модулей, даже если одно из чисел n или m равно 1.
Свойства
Основная цель условия инвариантного числа оснований состоит в том, чтобы свободные модули над кольцом IBN удовлетворяли аналогу теоремы о размерности для векторных пространств: любые два базиса свободного модуля над кольцом IBN имеют одинаковую кардинальность. Предполагая лемму об ультрафильтрах (строго более слабая форма аксиомы выбора), этот результат фактически эквивалентен данному здесь определению и может быть принят в качестве альтернативного определения. Рангом свободного модуля Rn над кольцом IBN R называется кардинальность экспоненты m любого (и, следовательно, каждого) R-модуля Rm, изоморфного Rn. Таким образом, свойство IBN утверждает, что каждый класс изоморфизма свободных R-модулей имеет единственный ранг. Ранг не определен для колец, не удовлетворяющих условию IBN. Для векторных пространств ранг также называется размерностью. Таким образом, вышеуказанный результат можно кратко сформулировать так: ранг однозначно определен для всех свободных R-модулей тогда и только тогда, когда он однозначно определен для конечно порожденных свободных R-модулей.
Примеры
Любое поле удовлетворяет условию IBN, и это означает, что конечномерные векторные пространства имеют однозначно определенную размерность. Более того, любое коммутативное кольцо (кроме нулевого кольца) удовлетворяет условию IBN, как и любое левое нётерово кольцо и любое полулокальное кольцо. Пусть A – коммутативное кольцо и предположим, что существует A-модульный изоморфизм. Пусть – канонический базис An, то есть все элементы равны нулю, кроме единицы в i-й позиции. По теореме Крулла, пусть I – максимальный собственный идеал A, и A-модульный морфизм An означает, что I является идеалом. Следовательно, f индуцирует A/I-модульный морфизм , который легко доказывается как изоморфизм. Поскольку A/I является полем, f''' является изоморфизмом между конечномерными векторными пространствами, следовательно, 1=n=p.
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
Примером ненулевого кольца, не удовлетворяющего условию IBN, является кольцо столбцово-конечных матриц – матрицы с коэффициентами в кольце R, записи которых индексируются и каждая строка которых содержит лишь конечное число ненулевых элементов. Это последнее требование позволяет определить произведение бесконечных матриц MN, задавая тем самым кольцевую структуру. Левый модульный изоморфизм задается следующим образом:
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
Это бесконечное матричное кольцо оказывается изоморфным эндоморфизмам правого свободного модуля над R счетного ранга. Из этого изоморфизма можно показать (сокращенно), что S ≅ Sn для любого положительного целого числа n, и, следовательно, Sn ≅ Sm для любых двух положительных целых чисел m и n. Существуют и другие примеры не-IBN колец, не обладающих этим свойством, среди них алгебры Ливитта.
because I is an ideal. So f induces an A/I module morphism , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f''' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so 1=n = p.
An example of a nonzero ring that does not satisfy IBN is the ring of column finite matrices , the matrices with coefficients in a ring R, with entries indexed by and with each column having only finitely many non zero entries. That last requirement allows us to define the product of infinite matrices MN, giving the ring structure. A left module isomorphism is given by:
This infinite matrix ring turns out to be isomorphic to the endomorphisms of a right free module over R of countable rank. From this isomorphism, it is possible to show (abbreviating ) that S ≅ Sn for any positive integer n, and hence Sn ≅ Sm for any two positive integers m and n''. There are other examples of non IBN rings without this property, among them Leavitt algebras.
Другие результаты
IBN является необходимым (но не достаточным) условием для вложения кольца без делителей нуля в кольцо делений (сравните с полем частных в коммутативном случае). См. также условие Оре. Каждое нетривиальное кольцо делений или стабильно конечное кольцо имеет инвариантный базисный номер. Каждое кольцо, удовлетворяющее условию ранга (то есть имеющее неограниченный номер порождения), должно иметь инвариантный базисный номер.