Бенойт Мандельброт: Математик және фракталдар туралы ғылымның шебері

Кіріспе

Француз-американдық математик (1924–2010)

Бенуа Б. Мандельброт француз тілінде сөйлегенде өзінің атын bənwa mɑ̃dɛlbʁot деп айтқан. (20 қараша 1924 – 14 қазан 2010) – Польшада туған француз-американдық математик және полимат, ол практикалық ғылымдарға, әсіресе физикалық құбылыстардың «қиындығының өнері» және «өмірдегі бақылаусыз элемент» деп атаған нәрселерге қызығушылық танытқан. Ол өзін «фракталист» деп атаған.

1936 жылы, 11 жасында Мандельброт отбасымен Польшаның Варшава қаласынан Францияға эмиграциялады. Екінші дүниежүзілік соғыс аяқталғаннан кейін Мандельброт математиканы оқыды, Париж және АҚШ университеттерін бітіріп, Калифорния технология институтында аэронавтика саласында магистр дәрежесін алды. Ол өзінің мансабының көп бөлігін АҚШ пен Францияда өткізді, француз және американдық азаматтығын алды. 1958 жылы ол IBM компаниясында 35 жылдық еңбек жолын бастады, онда IBM Fellow болды және Гарвард университетінде оқыту үшін уақыт-уақыт демалысқа шықты. Гарвардта, мақта фьючерстеріне қатысты АҚШ тауар нарығын зерттеуін жариялағаннан кейін, ол экономика және қолданбалы ғылымдарды оқытты. IBM компьютерлеріне қол жеткізгендіктен, Мандельброт фракталды геометриялық бейнелерді жасау және көрсету үшін компьютерлік графиканы қолданған алғашқылардың бірі болды, бұл 1980 жылы Мандельброт жиынын ашуға әкелді. Ол қарапайым ережелерден визуальды күрделілік қалай туындайтынын көрсетті. Ол бұлттар мен жағалаулар сияқты әдетте «қиын», «дүрмек» немесе «хаостық» деп есептелетін нәрселердің де «дәрежесінде реттелгендігі» бар екенін айтты. Мансабының соңында ол Йель университетінде математикалық ғылымдар профессоры болды, ол Йель тарихындағы ең үлкен жастағы профессорлардың бірі болды. Мандельброт сонымен қатар Тынық мұхитының солтүстік-батысындағы ұлттық зертханада, Лилль Солтүстік Франция университетінде, Жоғары оқу орындарында және Ұлттық ғылыми зерттеулер орталығында жұмыс істеді. Өмірінде 15-тен астам құрметті докторлық диплом алды және көптеген ғылыми журналдарда қызмет етті, сонымен қатар көптеген сыйлықтарға ие болды. Оның «Фракталист: ғылыми бұзылғанның естелігі» атты автобиографиясы 2012 жылы, оның қайтыс болғаннан кейін жарық көрді.

Алғашқы жылдар

Бенедикт Мандельброт Екінші Польша Республикасы кезінде Варшавада литвалық еврей отбасында дүниеге келді. Әкесі киім саудасымен айналысқан, анасы тіс дәрігері болған. Мектептегі алғашқы екі жылында оны жеке оқытқан туысы, жаттап алуды ұнатпайтын: «Мен уақытымның көп бөлігін шахмат ойнауға, карталарды оқып, айналамдағы әр нәрсені байқауға үйренуге жұмсадым». 1936 жылы, 11 жасқа келгенде, отбасы Польшадан Францияға көшті. Көші-қон, Екінші дүниежүзілік соғыс және оның әкесінің ағасы, математик Сзолем Мандельбройттың (1920 жылдардың басында Парижге көшіп келген) ықпалы оның стандартты білім алуына кедергі келтірді. «Ата-анам экономикалық және саяси босқындар ретінде Сзолемге Францияда қосылғандары біздің өмірімізді сақтап қалды», - деп жазады ол. Мандельброт Париждегі Лицей Ролленде (қазіргі Жак Декур колледж-лицейі) Екінші дүниежүзілік соғыс басталғанға дейін оқыды, содан кейін отбасы Францияның Туль қаласына көшті. Оған Брайв-ла-Гейлард раввині Давид Фейерверкер оқуын жалғастыруға көмектесті. Францияның көп бөлігі нацистер басып алған кезде, Мандельброт осы кезеңді былай еске алады: «Біздің үнемі қорқуымыз – бізді жау жақсылап іздеп тауып, өлімге жібермесе екен деген еді. Осындай оқиға жақын маңдағы округтің дәрігері, Парижден келген жақын досы Зина Морхангеге орын алды. Басқа бір дәрігер оны бәсекелестікті жою үшін жала жапты. Неге екенін кім біледі?» 1958 жылы жұбайлар АҚШ-қа көшіп, Мандельброт Нью-Йорк штатының Йорктаун Хайтс қаласындағы IBM Томас Дж. Уотсон ғылыми-зерттеу орталығының ғылыми қызметкері болып жұмыс істеді. Алғашқы жұмыстарында ол қаржы нарықтарындағы баға өзгерістерінің Гаусс таралымын емес, шексіз дисперсиясы бар Леви тұрақты таралымын ұстанатынын анықтады. Мысалы, ол мақта бағасы Гаусс таралымындағы 2-ге қарағанда, α параметрі 1,7-ге тең Леви тұрақты таралымын ұстанатынын анықтады. «Тұрақты» таралымдардың ерекшелігі – кездейсоқ айнымалының көптеген мысалының қосындысы бірдей таралымды, бірақ үлкен масштабты параметрмен ұстанады. Бұл жұмыс 60-жылдардың басында 1900 жылдан бергі мақта бағасының күнделікті деректерімен жасалды, «фрактал» сөзін енгізгенге дейін. Кейінірек, фракталдар тұжырымы жетілгеннен кейін, қаржы нарықтарын фракталдар контекстінде зерттеу қаржыда жоғары жиілікті деректер қолжетімді болғаннан кейін ғана мүмкін болды. 1980 жылдардың соңында Мандельброт нарық микроқұрылысына фракталдық теорияны қолдану үшін Цюрихтегі Olsen & Associates ұсынған күнделікті тик деректерін пайдаланды. Бұл ынтымақтастық қаржыдағы масштабтау заңдары туралы алғашқы толық мақалалардың жариялануына әкелді. Бұл заң әртүрлі уақыт шкалаларында ұқсас қасиеттерді көрсетеді, Мандельброттың нарық микроқұрылысының фракталдық табиғаты туралы болжамын растайды. Мандельброттың осы саладағы зерттеулері «Фракталдар және қаржыдағы масштабтау» және «Базарлардың (бұрыс) мінез-құлқы» атты кітаптарында баяндалған.

Benedykt Mandelbrot was born in a Lithuanian Jewish family, in Warsaw during the Second Polish Republic. His father made his living trading clothing; his mother was a dental surgeon. During his first two school years, he was tutored privately by an uncle who despised rote learning: "Most of my time was spent playing chess, reading maps and learning how to open my eyes to everything around me." In 1936, when he was 11, the family emigrated from Poland to France. The move, World War II, and the influence of his father's brother, the mathematician Szolem Mandelbrojt (who had moved to Paris around 1920), further prevented a standard education. "The fact that my parents, as economic and political refugees, joined Szolem in France saved our lives," he writes. Mandelbrot attended the Lycée Rollin (now the Collège lycée Jacques Decour) in Paris until the start of World War II, when his family moved to Tulle, France. He was helped by Rabbi David Feuerwerker, the Rabbi of Brive la Gaillarde, to continue his studies. Much of France was occupied by the Nazis at the time, and Mandelbrot recalls this period:
blockquote|Our constant fear was that a sufficiently determined foe might report us to an authority and we would be sent to our deaths. This happened to a close friend from Paris, Zina Morhange, a physician in a nearby county seat. Simply to eliminate the competition, another physician denounced her We escaped this fate. Who knows why? In 1958 the couple moved to the United States where Mandelbrot joined the research staff at the IBM Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York. In his early work, he found that the price changes in financial markets did not follow a Gaussian distribution, but rather Lévy stable distributions having infinite variance. He found, for example, that cotton prices followed a Lévy stable distribution with parameter α equal to 1.7 rather than 2 as in a Gaussian distribution. "Stable" distributions have the property that the sum of many instances of a random variable follows the same distribution but with a larger scale parameter. The latter work from the early 60s was done with daily data of cotton prices from 1900, long before he introduced the word 'fractal'. In later years, after the concept of fractals had matured, the study of financial markets in the context of fractals became possible only after the availability of high frequency data in finance. In the late 1980s, Mandelbrot used intra daily tick data supplied by Olsen & Associates in Zurich to apply fractal theory to market microstructure. This cooperation led to the publication of the first comprehensive papers on scaling law in finance. This law shows similar properties at different time scales, confirming Mandelbrot's insight of the fractal nature of market microstructure. Mandelbrot's own research in this area is presented in his books Fractals and Scaling in Finance and The (Mis)behavior of Markets.

"Фракталдық геометрия" мен Мандельброттың жиынтығын әзірлеу

Гарвард университетінің қонақ профессоры ретінде Мандельброт күрделі жазықтықтың белгілі бір түрлендірулері кезінде өзгермейтін Джулия жиындары деп аталатын математикалық нысандарды зерттей бастады. Гастон Джулия мен Пьер Фатудың бұрынғы жұмысына сүйене отырып, Мандельброт компьютер арқылы Джулия жиынтықтарының суреттерін сызды. Осы Джулия жиынтықтарының топологиясын зерттегенде, ол 1979 жылы өзі енгізген Мандельброт жиынтығын зерттеді. 1975 жылы Мандельброт осы құрылымдарды сипаттау үшін «фрактал» терминін қолданды және алғаш рет өзінің идеяларын француз тіліндегі «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» кітабында жариялады, кейін 1977 жылы «Фракталдар: Форма, Кездейсоқтық және Өлшем» деп аударылды. Компьютерлік ғылым және физика ғылымдарының докторы Стивен Вольфрамның айтуынша, бұл кітап Мандельброт үшін «жеңіліс» болды, ол сол кезге дейін әдетте «бұрынғыда күрделі математиканың жарығын көрмеген салаларға өте қарапайым математиканы қолданған». Вольфрам бұл жаңа зерттеудің нәтижесінде ол енді «айналып жүрген ғалым» емес екенін және кейіннен оны «фракталдардың әкесі» деп атағанын айтады.

«Британ жағалауының ұзындығы қанша? Статистикалық өзіндік ұқсастық және фракциялық өлшем» атты мақаласында, 1967 жылы «Science» журналында жарияланған Мандельброт фракталдардың мысалы болып табылатын Хаусдорф өлшемдері бар өзіндік ұқсас қисықтарды талқылайды, бірақ Мандельброт бұл терминді мақалада қолданбайды, себебі ол оны 1975 жылға дейін қолданған жоқ. Бұл мақала Мандельброттың фракталдар тақырыбындағы алғашқы жарияланымдарының бірі. Мандельброт фракталдарды нақты әлемдегі көптеген «дөрекі» құбылыстарды сипаттау үшін нақты және пайдалы модель ретінде қолданды. Ол «нағыз дөрекілік көбінесе фракталды және өлшенуге болады» деген қорытындыға келді. Оның бейресми және құмар жазу стилі және визуалды және геометриялық интуицияға баса назар аударғаны (көптеген суреттерді қосу арқылы қолдау тапты) «Табиғаттың фракталдық геометриясын» мамандар емес адамдарға қолжетімді етті. Кітап фракталдарға кеңінен қызығушылық туғызды және хаос теориясына және ғылым мен математиканың басқа салаларына үлес қосты. Мандельброттың идеялары космологияда да қолданылды. Ол 1974 жылы Олберс парадоксын («қараңғы түнгі аспан» жұмбағы) жаңаша түсіндірді, фракталдық теорияның салдарын парадокстың жеткілікті, бірақ қажетті емес шешімі ретінде көрсетті. Ол егер ғаламдағы жұлдыздар фракталды түрде таралған болса (мысалы, Кантор тозы сияқты), парадоксты түсіндіру үшін Үлкен жарылыс теориясына сүйенудің қажеті жоқ деп болжады. Оның моделі Үлкен жарылысты жоққа шығармайды, бірақ Үлкен жарылыс болмаған жағдайда да қараңғы аспанға жол береді.

Өлім және мұра

Мандельброт 2010 жылғы 14 қазанда 85 жасында Массачусетс штатының Кембридж қаласындағы хосписде асқазан безінің қатерлі ісікесінен қайтыс болды. Оның өлімі туралы жаңалыққа жауап ретінде математик Хайнц Отто Пейтген: «Егер математикадағы әсері және ғылымдағы қолданылуы туралы айтатын болсақ, ол соңғы елу жылдың ең маңызды тұлғаларының бірі» деді. Мандельброт қайтыс болған кезде Франция президенті болған Николя Саркози Мандельброттың «күшті, ерекше ой-өрісінің жаңалықтар ойлап табудан және қалыптасқан көзқарастарды бұзудан ешқашан тартынбағанын» айтты. Оның еңбегі, негізгі зерттеулерден толығымен тыс дамыған, қазіргі ақпараттық теорияға әкелді. The Economist журналындағы Мандельброттың некрологы оның «академиядан тыс танымал тұлға» екенін атап көрсетіп, оны «фракталдық геометрияның әкесі» деп мақтады. Ең көп сатылатын эссеші, автор Нассим Николас Талеб Мандельброттың «Нарықтардың (бұрыс) мінез-құлқы» кітабы, оның пікірінше, «қазіге дейін жарық көрген ең терең және ең шыншыл қаржылық кітап» екенін айтты.